Odpowiedź:
0
Szczegółowe wyjaśnienie:
[0,1] × [0,2] × [0,3]
X y z
Potrzebne wzory
∫sin(x+a)dx=-cos(x+a)+C
∫cos(x+a)dx=sin(x+a)+C
Wybieramy kolejność całkowania
∫(0,1) ∫(0,2) ∫(0,3)sin(x+y+z)dz)dy)dx)
Kiedy całkujemy po z, x+y jest stałe, czyli nasze a z powyższych wzorów
Zatem
∫(0,1) ∫(0,2) [-cos(z+x+y)] ∫(0,3) dy)dx)
(C nie piszemy, bo to całka oznaczona)
Teraz stawiamy za z najpierw 3, a potem 0
∫ w granicach (0,1)( ∫ w granicach (0,2) [-cos(3+x+y)-(-cos(x+y)] ∫(0,3)dy)dz=∫(0,1) ∫(0,2) [-cos(3+x+y)+ cos(x+y)] w granicach (0,3) dy)dx)
Teraz stała będzie 3+x w pierwszym cosinusie i x w drugim, czyli mamy
∫ w granicach (0,1) [-sin(y+3+x)+ sin(x+y)] w granicach (0,2)dx
Bo ∫(y+a)=sin(y+3+x) , a, ∫cos(x+y)= sin(x+y) w granicach (0,2)dx
Teraz stawiamy za y najpierw 2, a potem 0
∫ w granicach (0,1) [-sin(2+3+x)+ sin(x+2)-(-sin(x+3)-sinx] dx
Czyli ∫ w granicach (0,1) [-sin(5+x)+ sin(x+2)+ sin(x+3)-sinx] dx
[-(-cos (x+5)- cos(x+2)-cos(x+3)+cosx] w granicach (0,1)
[cos (x+5)- cos(x+2)-cos(x+3)+cosx] w granicach (0,1)
Bo sin(5+x)= -cos (x+5), a minus na początku plus minus daje plus, a sin(x+2)= -cos(x+2)
Teraz stawiamy za x najpierw 1, a potem 0
I mamy [cos6- cos3-cos4+cos1-cos5+cos2+cos3-cos0]
cos3 i -cos3 się redukują i mamy
[cos6-cos4+cos1-cos5+cos2 -cos0] =1-0,65+0,54-0,29+0,41 -1
1 i minus 1 się redukują i mamy -0,65+0,54-0,29+0,41=0
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Parę zdań wstępu - tylko dla tych co potrzebują:
Ogólnie, całkowanie, rozwiązywanie całki polega na znalezieniu takiej funkcji (F - funkcja pierwotna), której pochodna jest równa funkcji
podcałkowej: ∫f(x)dx = F to (F)' = f(x), całkowanie jest odwrotnym
działaniem do liczenia pochodnej (różniczkowania).
np:
∫dx = ∫1 dx = x bo (x)' = 1
∫xdx = (1/2)x² bo [(1/2)x²]' = x
∫x²dx = (1/3)x³ bo [(1/3)x³]' = x² ..., i tak dalej
W całce nieoznaczonej do rozwiązania dodajemy zawsze jeszcze + C,
C - stała, bo dokładniej ∫f(x)dx = F + C to (F + C)' = f(x), bo (C)' = 0
np: ∫xydx = (1/2)yx² bo y traktujemy wtedy jako stałą.
Obszar całkowania (prostopadłościan) jest normalny względem każdej ze zmiennych funkcji podcałkowej - to kolejność całkowania jest dowolna.
Jeżeli całkujemy względem jednej zmiennej - to pozostałe zmienne
przyjmujemy (traktujemy) jako stałe jako stałe,
np., jeśli całkujemy po dx to y = stała, z = stała.
Granice całkowania wyznaczają nam wymiary prostopadłościanu:
po dx to granice całkowania: od dolnej granicy 0 do górnej granicy 0,1
bo 0 ≤ x ≤ 0,1
granice całkowania zapisano: I od 0 do 0,1 I bo nie mam technicznej możliwości zapisania granic całkowania na całce:
po dy to od 0 do 0,2 bo 0 ≤ x ≤ 0,2 I od 0 do 0,2 I
po dz to od 0 do 0,3 bo 0 ≤ x ≤ 0,3 I od 0 do 0,3 I
∭(x + y + z)dxdydz =
= ∫ { ∫ [ ∫ (x + y + z) dz ] dy } dx =
[∫xdz = zx, ∫ydz = zy, ∫zdz = (1/2)z² bo [(1/2)z²]' = z] = 0,5z²]
= ∫ { ∫ [zx + zy + 0,5z²] I od 0 do 0,3 I dy } dx =
= ∫ [ ∫ (0,3x + 0,3y + 0,5•(0,3)²) dy]dx =
= ∫ [ ∫ (0,3x + 0,3y + 0,045) dy]dx =
= ∫ [(0,3xy + 0,3•(1/2)y² + 0,045y)]dx = ∫ [(0,3xy + 0,15y² + 0,045y)]dx =
= ∫ [(0,3xy + 0,15y² + 0,045y] I od 0 do 0,2 I dx =
= ∫ [0,06x + 0,006 + 0,009]dx =
= (0,06•(1/2)x² + 0,006x + 0,009x) I od 0 do 0,1 I =
= (0,06•0,5•0,1 + 0,006•0,1 + 0,009•0,1) =
= 0,003 + 0,0006 + 0,0009 = 0,0045
