Dane:
|AB| = 2 + 3 = 5
|BC| = 0 + 6 = 6
|∡ABC| = 60°
Polecenie "rozwiąż trójkąt" oznacza znalezienie brakujących miar jego kątów i brakujących długości boków.
Szukane: |AC| = ?, |∡ACB| = ?, |∡BAC| = ?
Ponieważ kąt ∡ABC leży pomiędzy bokami o podanych długościach, długość trzeciego boku bez problemu obliczymy z tw. cosinusów:
[tex]\bold{|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB||BC|\cos\angle ABC}[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{|AC|^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cdot\cos60^o}\\\\\bold{|AC|^2=25+36-60\cdot\frac12}\\\\\bold{|AC|^2=31}\\\\\bold{|AC|=\sqrt{31}}[/tex]
A mając dane wszystkie boki, z tw. cosinusów możemy obliczyć wartości cosinusów pozostałych kątów i odczytać z tablic wartości tych kątów:
[tex]\bold{|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC|\cos\angle ACB}\\\\ \bold{6^2=\sqrt{31}\big\,^2+5^2-2\cdot\sqrt{31}\cdot5\cos\angle ACB}\\\\ \bold{36=31+25-10\sqrt{31}\cdot\cos\angle ACB}\\\\ \bold{10\sqrt{31}\cdot\cos\angle ACB=19\qquad/:(10\sqrt{31})}\\\\ \bold{\cos\angle ACB=\dfrac{19}{10\sqrt{31}}\approx0,34125}\\\\\\ \bold{\cos\angle ACB=0,34125\quad\iff\quad |\angle ACB|\approx69^o}[/tex]
Stąd, z sumy kątów w trójkącie:
|∡BAC| = 180° - 60° - 69° = 51°
Promień okręgu wpisanego w trójkąt to: [tex]\bold{r=\dfrac{P}{p}}[/tex], gdzie P to pole tego trójkąta, a p to połowa jego obwodu
Wzór na pole trójkąta o danych dwóch bokach (|AB|, |BC|) i kącie między nimi (∡ABC) to: [tex]\bold{P=\frac12|AB||BC|\sin|\angle ABC|}[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{P=\frac12\cdot5\cdot6\cdot\sin60^o}\\\\ \bold{P=15\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}2}\\\\\\ \bold{p=\frac{5+6+\sqrt{31}}2=\frac{11+\sqrt{31}}2}\\\\\\ \bold{r=\dfrac{\frac{15\sqrt3}2}{\frac{11+\sqrt{31}}2}=\dfrac{15\sqrt3}{11+\sqrt{31}}\cdot\dfrac{11-\sqrt{31}}{11-\sqrt{31}}=\dfrac{15\sqrt3(11-\sqrt{31})}{121-31}=\dfrac{15(11\sqrt3-\sqrt{93})}{90}} \\\\\\ \large\boxed{\bold{r=\dfrac{11\sqrt3-\sqrt{93}}{6}}}[/tex]
Pole odcinka koła to różnica między polem wycinka koła ograniczonego tym samym kątem (AOB), a polem trójkąta utworzonego przez ten kąt po odcięciu cięciwą szukanego odcinka.
Dane:
r = 2 + 3 = 5
|∡AOB| = 10(0+6)° = 10·6° = 60°
Pełne koło to 360°. Czyli pole wycinka stanowi 60°/360° pola koła:
[tex]\bold{P_w=\frac{60^o}{360^o}\cdot 2\pi r}\\\\ \bold{P_w=\frac16\cdot 2\pi \cdot5=\frac53\pi}[/tex]
Trójkąt AOB jest równoramienny (bo |AO| = |OB| = r), a trójkąt równoramienny o kącie między ramionami wynoszącym 60° to trójkąt równoboczny (o boku długości r), czyli
[tex]\bold{P_\triangle =\dfrac{r^2\sqrt3}4=\dfrac{5^2\sqrt3}4=\dfrac{25\sqrt3}4}[/tex]
Zatem pole szukanego odcinka koła:
[tex]\large\boxed{\bold{P=\dfrac{5\pi}3-\dfrac{25\sqrt3}4=\dfrac{20\pi-75\sqrt3}{12}}}[/tex]
