Rozwiązanie:
Teza:
[tex](a^{x})'=a^{x}\ln a[/tex]
Określmy funkcję:
[tex]f(x)=a^{x}[/tex] gdzie [tex]a > 0[/tex].
Z definicji pochodnej:
[tex]$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{a^{x} \cdot a^{h}-a^{x}}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h} =a^{x}\lim_{h \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}[/tex]
Podstawienie:
[tex]u=a^{h}-1 \iff u+1=a^{h}[/tex]
Z def. logarytmu:
[tex]h=\log_{a}(u+1)[/tex]
Oczywiście, jeżeli [tex]h \to 0[/tex], to [tex]u \to 0[/tex]. Mamy:
[tex]$a^{x}\lim_{h \to 0}\frac{a^{h}-1}{h}=a^{x} \lim_{u \to 0}\frac{u}{\log_{a}(u+1)} =a^{x} \lim_{u \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(u+1)}[/tex]
Korzystając z własności logarytmu:
[tex]$a^{x} \lim_{u \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u}\log_{a}(u+1)}=a^{x} \lim_{u \to 0} \frac{1}{\log_{a}(u+1)^{\frac{1}{u}}}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$\lim_{u \to 0}(u+1)^{\frac{1}{u}}=\lim_{u \to 0}\Big(1+\frac{1}{\frac{1}{u}} \Big)^{\frac{1}{u}}=e[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$a^{x} \lim_{u \to 0} \frac{1}{\log_{a}(u+1)^{\frac{1}{u}}}=a^{x} \cdot \frac{1}{\log_{a}e} =a^{x}\ln a[/tex]
co kończy dowód.
