Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 4
Ekstremum funkcji wyznaczamy rozwiązując równanie f'(x)=0
[tex]f(x)=-x^{3} -x^{2} +x-1[/tex] [tex]D_{f} =R[/tex]
- obliczamy pochodną funkcji
[tex]f'(x)=-3x^{2} -2x+1[/tex]
- przyrównujemy pochodną do zera f'(x)=0
[tex]-3x^{2} -2x+1=0[/tex]
[tex]Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2} -4*(-3)*1=4+12=16[/tex]
[tex]\sqrt{Delta} =\sqrt{16}=4[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-b-\sqrt{Delta} }{2a} =\frac{2-4}{2*(-3)} =\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]x_{2} =\frac{-b+\sqrt{Delta} }{2a} =\frac{2+4}{2*(-3)} =\frac{6}{-6}=-1[/tex]
-badamy znak pochodnej wokół rozwiązań
x∈(-∞,-1)
np. x=-2
[tex]f'(-2)=-3*(-2)^{2} -2*(-2)+1=-3*4+4+1=-12+5=-7 < 0[/tex]
dla x∈(-∞,-1) funkcja jest malejąca
x∈(-1, [tex]\frac{1}{3}[/tex] )
np. x=0
[tex]f'(0)=0-0+1=1 > 0[/tex]
dla x∈(-1, [tex]\frac{1}{3}[/tex] ) funkcja jest rosnąca
x∈( [tex]\frac{1}{3}[/tex] , +∞)
np. x=1
[tex]f'(1)=-3*1^{2} -2*1+1=-3-2+1=-4 < 0[/tex]
dla x∈( [tex]\frac{1}{3}[/tex] , +∞) funkcja malejąca
[tex]\frac{1}{3}[/tex] max
- \ / + + / \ -
-1 min
w x =-1 funkcja ma minimum w x= [tex]\frac{1}{3}[/tex] ma maximum
-obliczamy wartość
Minimum: [tex]f(-1) = -(-1)^{3} -(-1)^{2} +(-1)-1=-(-1)-1-1-1=1-3=-2[/tex]
Maksimum: [tex]f(\frac{1}{3} )=-(\frac{1}{3})^{3} -(\frac{1}{3} )^{2} +\frac{1}{3} -1=-\frac{1}{27} -\frac{1}{9}-\frac{2}{3} =-\frac{1}{27} -\frac{3}{27}-\frac{18}{27} =-\frac{22}{27}[/tex]
Zadanie 5.
Aby wyznaczyć punkt przegięcia obliczamy drugą pochodną, przyrównujemy do zera i rozwiązujemy równanie, a następnie badamy znak drugiej pochodnej w otoczeniu argumentu jaki wyjdzie nam z równania.
Krzywa jest wklęsła w przedziale (a,b) gdy f''(x) <0.
Krzywa jest wypukła w przedziale(a,b) gdy f"(x) >0.
[tex]f(x)=x^{4} -5x^{3} +x-1\\[/tex] [tex]Df=R[/tex]
-obliczamy pierwszą pochodną
[tex]f'(x)=4x^{3} -5*3x^{2} +1[/tex]
[tex]f'(x)=4x^{3} -15x^{2} +1[/tex]
-obliczamy drugą pochodną
[tex]f"(x)=4*3x^{2} -15*2x+0[/tex]
[tex]f"(x)=12x^{2} -30x[/tex]
- przyrównujemy drugą pochodną do zera f"(x)=0
[tex]12x^{2} -30x=0/:6[/tex]
[tex]2x^{2} -5x=0[/tex]
[tex]x(2x-5)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] v [tex]2x-5=0[/tex]
[tex]2x=5/:2[/tex]
[tex]x=2\frac{1}{2}[/tex]
Mamy dwa punkty podejrzane o bycie punktami przegięcia x = 0 i x = [tex]2\frac{1}{2}[/tex]. Sprawdzamy teraz znak drugiej pochodnej w otoczeniu tych punktów.
- badamy znak drugiej pochodnej
x∈(-∞,0)
np. x= -1
[tex]f"(-1)=12*(-1)^{2} -30*(-1)= 12*1+30=12+30=42 > 0[/tex]
f"(x) > 0, więc w przedziale (-∞,0) funkcja jest wypukła
x∈ (0, [tex]2\frac{1}{2}[/tex] )
np. x= 1
[tex]f"(1)=12*1^{2} -30*1=12-30=-18 < 0[/tex]
f"(x) < 0, więc w przedziale (0, [tex]2\frac{1}{2}[/tex] ) funkcja jest wklęsła
x∈ ( [tex]2\frac{1}{2}[/tex], +∞ )
np. x=3
[tex]f"(3)=12*3^{2} -30*3=12*9 -90 = 108 -90=18 > 0[/tex]
f"(x) > 0, więc w przedziale ( [tex]2\frac{1}{2}[/tex], +∞ ) funkcja jest wypukła
Punkty przegięcia: x=0 i x = [tex]2\frac{1}{2}[/tex]
