Rozwiązanie:
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \arctan \frac{y}{x}[/tex]
Obszar w załączniku.
Zapis obszaru:
[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} :x^{2}+y^{2}\geq 1 \wedge x^{2}+y^{2}\leq 9 \wedge x\leq y\leq \sqrt{3}x\}[/tex]
Wprowadzamy współrzędne biegunowe:
[tex]$\left \{ {{x=r \cos \varphi} \atop {y=r \sin \varphi}} \right.[/tex]
gdzie (wartości łatwo odczytać z rysunku):
[tex]$1\leq r\leq 3[/tex]
[tex]$\frac{\pi}{4}\leq \varphi\leq \frac{\pi}{3}[/tex]
[tex]J(r, \varphi) = r[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \arctan \frac{y}{x}=\int\limits^{3}_{1}\Bigg(\int \limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}} \arctan \frac{r \sin \varphi}{r \cos \varphi} \cdot r \ d \varphi\Bigg)dr=\int\limits^{3}_{1}\Bigg(\int \limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}} \arctan(\tan \varphi) \cdot r \ d \varphi\Bigg)dr=[/tex]
[tex]$=\int \limits^{3}_{1}\Bigg(r\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}} \varphi \ d \varphi\Bigg) dr=\int\limits^{3}_{1}r \cdot \frac{\varphi^{2}}{2}\Bigg|^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{4}} dr= \int \limits^{3}_{1}r\Big(\frac{\pi^{2}}{18}-\frac{\pi^{2}}{32}\Big)dr=[/tex]
[tex]$=\Big(\frac{\pi^{2}}{18}-\frac{\pi^{2}}{32}\Big) \cdot \frac{r^{2}}{2}\Bigg|^{3}_{1}=\frac{32\pi^{2}-18\pi^{2}}{576} \cdot \Big(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{7\pi^{2}}{72}[/tex]
Wykorzystano zależność:
[tex]$\arctan(\tan x)=x[/tex] dla [tex]$x \in \Big\langle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \Big\rangle[/tex].
