Postać kanoniczna:
[tex]y=(x+\frac{1}{4} )^2-3\frac{1}{8}[/tex]
Postać iloczynowa:
[tex]y=2(x+1\frac{1}{2} )(x-1)[/tex]
Współrzędne wierzchołka:
[tex]W=(-\frac{1}{4},-3\frac{1}{8} )[/tex]
Przedziały monotoniczności:
funkcja y maleje dla x ∈ (-∞,-1/4)
funkcja y rośnie dla x ∈ (-1/4,∞)
Dane:
[tex]y=2x^2+x-3[/tex]
Szukane:
postać kanoniczna i iloczynowa funkcji, współrzędne wierzchołka funkcji oraz przedziały monotoniczności funkcji
Rozwiązanie:
Pierwszym krokiem będzie wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji y, której wzór wygląda następująco.
[tex]y=a(x-p)^2+q\\,~gdzie\\p=-\frac{b}{2a} \\i\\q=-\frac{b^2-4ac}{4a}[/tex]
P oraz q są współrzędnymi wierzchołka tej funkcji.
Teraz musimy podstawić dane.
[tex]a=2\\b=1\\c=-3\\[/tex]
Zatem:
[tex]p=-\frac{1}{4} \\q=-\frac{1+24}{8} \\q=-3\frac{1}{8}[/tex]
, więc postać kanoniczna będzie równa:
[tex]y=(x+\frac{1}{4} )^2-3\frac{1}{8}[/tex]
oraz współrzędne wierzchołka to:
[tex]W=(-\frac{1}{4},-3\frac{1}{8} )[/tex]
Kolejnym etapem będzie przedstawienie funkcji w postaci iloczynowej.
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)\\x_1,~x_2~-~miejsca~zerowe~funkcji[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\x_1=\frac{-1-\sqrt{1+24} }{4}\\x_1=-1\frac{1}{2}\\x_2=\frac{-1+\sqrt{1+24} }{4}\\x_2=1[/tex]
Zatem postać iloczynowa funkcji wygląda następująco:
[tex]y=2(x+1\frac{1}{2} )(x-1)[/tex]
Ostatnim krokiem będzie wyznaczenie monotoniczności tej funkcji.
W tym celu, na początku obliczymy pochodną tej funkcji.
[tex]y=2x^2+x-3\\y'=2ax+b\\y'=4x+1[/tex]
Następnie obliczymy w jakim punkcie funkcja przestanie maleć i zacznie rosnąć, poprzez przyrównanie pochodnej do 0.
[tex]y'=0\\4x+1=0\\4x=-1\\x=-\frac{1}{4}[/tex]
Teraz sporządzimy wykres pomocniczy, który pomoże nam wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji. Wykres znajduje się w załączniku.
Analizując wykres, można stwierdzić, że:
funkcja y maleje dla x ∈ (-∞,-1/4)
funkcja y rośnie dla x ∈ (-1/4,∞).
