Odpowiedź:
Na początku określmy dziedzinę funkcji:
[tex]f(x)=\dfrac{x-3}{x+2}[/tex]
[tex]\mathbb{D}:\\x+2\neq0\qquad|-2\\x\neq-2\\\\\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-2\}[/tex]
Funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie, jeżeli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości:
[tex]x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)[/tex]
Założenie:
[tex]x_1\neq x_2[/tex]
Teza:
[tex]f(x_1)\neq f(x_2)[/tex]
Dowód nie wprost:
[tex]f(x_1)=\dfrac{x_1-3}{x_1+2},\ f(x_2)=\dfrac{x_2-3}{x_2+2}\\\\f(x_1)=f(x_2)\iff\dfrac{x_1-3}{x_1+2}=\dfrac{x_2-3}{x_2+2}[/tex]
mnożymy na krzyż:
[tex](x_1-3)(x_2+2)=(x_1+2)(x_2-3)\\\\x_1x_2+2x_1-3x_2-6=x_1x_2-3x_1+2x_2-6[/tex]
x₁x₂ oraz (-6) redukują się do 0
[tex]2x_1-3x_2=-3x_1+2x_2\\\\2x_1+3x_1=2x_2+3x_2\\\\5x_1=5x_2\qquad|:5\\\\x_1=x_2[/tex]
WNIOSEK:
Funkcja przyjmuje te same wartości tylko, gdy argumenty są równe.
Stąd funkcja jest różnowartościowa.
[tex]\blacksquare[/tex]
