Prawdopodobieństwo warunkowe.
[tex]\bold{P(A\, |\,B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}[/tex]
A - zdarzenie, że wśród wylosowanych kart są dokładnie 2 piki
B - zdarzenie, że wśród wylosowanych kart jest dokładnie 1 kier
A∩B - zdarzenie, że wśród wylosowanych kart są dokładnie 2 piki i 1 kier
Ω - zbiór wszystkich możliwych zestawów pięciu kart z 52
Kolejność losowania kart nie ma znaczenia, czyli do obliczeń możemy wykorzystać kombinacje: [tex]C^k_n=\left(^\big{n}_\big{k} \right)=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}[/tex]
Zatem:
[tex]\overline{\overline\Omega}=C^5_{52}=\left(^\big{52}_\big{\ 5} \right)=\dfrac{52!}{5!\cdot47!}=\dfrac{47!\cdot48\cdot49\cdot50\cdot51\cdot52}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot47!}=\dfrac{8\cdot49\cdot10\cdot51\cdot52}{4}\\\\\\\overline{\overline\Omega}=8\cdot49\cdot10\cdot51\cdot13[/tex]
W tali 52 kart mamy po 13 kart w czterech kolorach.
B - wylosowano jedną kartę z 13 kierów i cztery karty z pozostałych 39, czyli:
[tex]\overline{\overline B}=C^1_{13}\cdot C^4_{39}=\left(^\big{13}_\big{\ 1} \right)\left(^\big{39}_\big{\ 4} \right)=\dfrac{13!}{1!\cdot12!}\cdot \dfrac{39!}{4!\cdot35!}=\\\\\\=\dfrac{12!\cdot13}{1\cdot12!}\cdot \dfrac{35!\cdot36\cdot37\cdot38\cdot39}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot35!}=\dfrac{1\cdot13}{1\cdot1}\cdot \dfrac{1\cdot6\cdot37\cdot38\cdot39}{1\cdot1\cdot1\cdot4\cdot1} \\\\\\ \overline{\overline B}=13\cdot3\cdot37\cdot19\cdot39[/tex]
A∩B - wylosowano dwie karty z 13 pików, jedną kartę z 13 kierów i 2 karty z pozostałych 26, czyli:
[tex]\overline{\overline{A\cap B}}=C^2_{13}\cdot C^1_{13}\cdot C^2_{26}= \left(^\big{13}_\big{\ 2}\right)\left(^\big{13}_\big{\ 1}\right)\left(^\big{26}_\big{\ 2} \right) =\dfrac{13!}{2!\cdot11!}\cdot\dfrac{13!}{1!\cdot12!}\cdot \dfrac{26!}{2!\cdot24!}=\\\\\\ =\dfrac{11!\cdot12\cdot13}{1\cdot2\cdot11!}\cdot13\cdot \dfrac{24!\cdot25\cdot26}{1\cdot2\cdot24!} =6\cdot13\cdot13\cdot 25\cdot13[/tex]
Zatem:
prawdopodobieństwo tego, że wśród tych kart są dokładnie 2 piki, jeżeli wiadomo, że jest wśród wybranych kart jest dokładnie 1 kier:
[tex]\bold{P(A\, |\,B)=\dfrac{6\cdot13\cdot13\cdot25\cdot13}{13\cdot3\cdot37\cdot19\cdot39}=\dfrac{2\cdot1\cdot13\cdot25\cdot1}{1\cdot1\cdot37\cdot19\cdot3}=\dfrac{26\cdot25}{37\cdot57}=\dfrac{650}{2109}}[/tex]
