Odpowiedź:
Zadanie ma dwa rozwiązania:
na zieloną szkołę wyjechało 16 uczniów, zostało 17, lub
na zieloną szkołę wyjechało 17 uczniów, zostało 16
W obydwu przypadkach zostaną wysłane 272 kartki.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Oznaczmy przez [tex]x[/tex] liczbę uczniów, którzy wyjechali na wycieczkę. W szkole pozostało [tex]33-x[/tex] uczniów. Ile kartek zostało wysłanych? Skoro każdy z uczniów, który wyjechał wysłał kartkę do każdego z uczniów, który został, zostało wysłanych w sumie:
[tex]x\cdot (33-x)[/tex] kartek.
[tex]x\cdot (33-x)=-x^2+33\cdot x[/tex]
wykresem funkcji opisanej przez tę zależność jest parabola z ramionami skierowanymi w dół. Największą z możliwych wartości przyjmuje w wierzchołku paraboli. Odcięta wierzchołka paraboli:
[tex]p=\dfrac{-b}{2\cdot a}=\dfrac{-33}{2\cdot (-1)}=16\dfrac{1}{2}[/tex]
Dla takiej liczby uczniów na wycieczce liczba wysłanych kartek będzie największa. Ale czy możemy na wycieczkę wysłać niecałkowitą liczbę uczniów? Nie. Zwróćmy jednocześnie uwagę, że jeśli na wycieczkę pojedzie 16 uczniów a w szkole zostanie 17, to liczba wysłanych kartek wyniesie:
[tex]16\cdot 17=272[/tex]
Podobny rezultat osiągniemy jeśli na wycieczkę pojedzie 17 uczniów a w szkole pozostanie szesnastu.
Czy kartek może być więcej?
Sprawdźmy ile byłoby kartek gdybyśmy wysłali jednak 16,5 ucznia i tyle samo zostałoby w szkole:
[tex]\text{16,5}\cdot \text{16,5}=\text{272,25}[/tex]
Więc maksymalna z możliwych całkowita liczba kartek wynosi 272. Tyle ile wyliczyliśmy. Więcej się nie da.
