[tex]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+...+\frac{1}{\sqrt n} > \sqrt n[/tex]
Tutaj mamy nierówność ostrą, więc n=1 nie spełnia warunku, bo dla n=1 jest równość obu stron. Dlatego zaczniemy od n=2.
1) Dla n=2 mamy:
[tex]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}=1+\frac{\sqrt2}{2}\approx1+\frac{1,4}{2}=1+0,7=1,7 > \sqrt2\approx1,4[/tex]
2) Załóżmy, że nierówność jest spełniona dla n. Sprawdzamy, czy będzie spełniona dla n+1.
[tex]\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+...+\frac{1}{\sqrt n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt n+\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\sqrt{\left(\sqrt n+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)^2}=\\=\sqrt{n+\frac{2\sqrt n}{\sqrt{n+1}}+\frac{1}{n+1}} > \sqrt{n+\frac{2\sqrt n}{\sqrt{n+1}}}=\sqrt{n+\frac{\sqrt {4n}}{\sqrt{n+1}}}=\sqrt{n+\sqrt\frac{4n}{n+1}}=\\=\sqrt{n+\sqrt\frac{2n+2n}{n+1}} > \sqrt{n+\sqrt\frac{2n+2}{n+1}}=\sqrt{n+\sqrt\frac{2(n+1)}{n+1}}=\sqrt{n+\sqrt2} > \sqrt{n+1}[/tex]
To kończy dowód.
