Wypiszmy kilka naturalnych potęg trójki:
[tex]3^1=3, \ \ \ \ \ 3^2=9, \ \ \ \ \ 3^3=27, \ \ \ \ \ 3^4=81, \ \ \ \ \ 3^5=243, \\ \\ 3^6=729, \ \ \ \ \ 3^7=2187, \ \ \ \ \ 3^8=6561, \ ...[/tex]
Zauważmy, że ostatnie cyfry tych potęg cyklicznie się powtarzają. Ostatnie cyfry to kolejno: [tex]3, \ 9, \ 7, \ 1[/tex], potem od nowa ten sam cykl.
Korzystając z powyższego ostatnią cyfrą liczby [tex]\mathbf{3^{44}}[/tex] jest [tex]\mathbf{1.}[/tex]
WYJAŚNIENIE: [tex]44:4=11[/tex], dzielimy przez [tex]4[/tex], bo mamy cztery cyfry w wyżej wspomnianym cyklu. Dzielenie nie dało reszty, tzn. "mieści się" całe jedenaście cykli, czyli na czterdziestą czwartą potęgę wypadnie końcowa cyfra [tex]1[/tex].
Wypiszmy klika naturalnych potęg czwórki:
[tex]4^1=4, \ \ \ \ \ 4^2=16, \ \ \ \ \ 4^3=64, \ \ \ \ \ 4^4=256, \ \ \ \ \ 4^5=1024, \ ...[/tex]
Tu z kolei nietrudno zauważyć, że przy kolejnych potęgach liczby na zmianę kończą się cyframi: [tex]4[/tex] i [tex]6[/tex].
Korzystając z powyższego ostatnią cyfrą liczby [tex]\mathbf{4^{33}}[/tex] jest [tex]\mathbf{4.}[/tex]
WYJAŚNIENIE: [tex]33:2=16 \ r \ 1[/tex], analogicznie jak wcześniej dzielimy przez [tex]2[/tex], bo mamy dwie cyfry powtarzającym się cyklu końcówek. Dzielenie dało wynik [tex]16[/tex] z resztą [tex]1[/tex], a to oznacza, że "mieści" nam się szesnaście całych cykli i jedna potęga. Po cykl kończy się cyfrą [tex]6,[/tex] ale my musimy przeskoczyć jeszcze jedną, czyli nasza końcówka to [tex]4.[/tex]
PODSUMOWUJĄC:
jeżeli ostatnią cyfrą liczby [tex]3^{44}[/tex] jest [tex]1[/tex], zaś ostatnią cyfrą liczby [tex]4^{33}[/tex] jest [tex]4[/tex], to to oznacza, że ostatnią cyfrą liczby [tex]3^{44}+4^{33}[/tex] jest [tex]1+4[/tex], czyli [tex]5[/tex]. Zatem liczba ta jest podzielna przez [tex]\mathbf{5}[/tex].
