Odpowiedź:
Wartość najmniejsza wynosi -1/8 dla x = √2.
Wartość największa wynosi 1/4 dla x = 1/2.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy funkcję:
[tex]f(x)=\log_{\frac{1}{16}}x[/tex]
Dziedzina funkcji:
[tex]\mathbb{D}:x\in\mathbb{R^+}[/tex]
Podstawą logarytmu jest liczba z przedziału (0, 1). Wówczas funkcja jest malejąca.
Funkcja logarytmiczna jest ściśle monotoniczna.
Wobec tego, że nasza funkcja jest funkcją malejącą, to największą wartość przyjmie w początku zadanego przedziału, a najmniejszą na jego końcu.
Mamy przedział liczbowy:
[tex]\left < \dfrac{1}{2},\ \sqrt2\right >[/tex]
Podstawiamy do funkcji:
[tex]f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\log_{\frac{1}{16}}\dfrac{1}{2}[/tex]
skorzystamy z definicji logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b,\ \text{gdzie}\ a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
Wobec tego otrzymujemy równanie:
[tex]\left(\dfrac{1}{16}\right)^n=\dfrac{1}{2}\\\\\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\right]^n=\dfrac{1}{2}\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^1\iff 4n=1\qquad|:4\\\\\boxed{n=\dfrac{1}{4}}[/tex]
[tex]f\left(\sqrt2\right)=\log_{\frac{1}{16}}\sqrt2[/tex]
skorzystamy z definicji pierwiastka jako potęgi, potęgi o wykładniku ujemnym oraz z definicji logarytmu:
[tex]\sqrt{a}=a^\frac{1}{2},\ a\geq0\\\\a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0[/tex]
Wobec tego otrzymujemy równanie:
[tex]\left(\dfrac{1}{16}\right)^m=2^{\frac{1}{2}}\\\\16^{-m}=2^{\frac{1}{2}}\\\\\left(2^4\right)^{-m}=2^{\frac{1}{2}}\\\\2^{-4m}=2^{\frac{1}{2}}\iff-4m=\dfrac{1}{2}\qquad|:(-4)\\\\\boxed{m=-\dfrac{1}{8}}[/tex]
