W obu przykładach do rozwiązania wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Czyli (jeśli założymy, że a i b to przyprostokątne, a c - przeciwprostokątna):
a² + b² = c²
{lub c² = a² + b²}
a)
Przyjmijmy: |AC| = y i |BC| = z
oraz oznaczmy spodek wysokości jako D
Wtedy:
|CD| = 4, |AB| = 10, |AD| = x, |BD| = 10 - x
Zatem:
Z tw. Pitagorasa dla ΔACD: y² = x² + 4²
Z tw. Pitagorasa dla ΔBCD: z² = (10 - x)² + 4²
Zapisując tw. Pitagorasa dla ΔABC otrzymamy:
y² + z² = 10²
Czyli: x² + 4² + (10 - x)² + 4² = 10²
x² + 16 + 100 - 20x + x² + 16 = 100
2x² - 20x + 32 = 0 /:2
x² - 10x + 16 = 0
x² - 2x - 8x + 16 = 0
x(x - 2) - 8(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 8) = 0
x - 2 = 0 ∨ x - 8 = 0
x = 2 ∨ x = 8
Dla x = 2 mamy:
y² = 2² + 4² = 4 + 16 = 20 ⇒ y = √20 = 2√5
z² = (10-2)² + 4² = 64 + 16 = 80 ⇒ z = √80 = 4√5
A dla x = 8:
y² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 ⇒ y = √80 = 4√5
z² = (10-8)² + 4² = 4 + 16 = 20 ⇒ z = √20 = 2√5
Bez względu na to, który zestaw boków przyjmiemy do obliczeń obwód będzie taki sam:
Obw. = 10 + 2√5 + 4√5 = 10 + 6√5
b)
Oznaczmy spodek wysokości jako D
Wtedy:
|CD| = 4, |BC| = 2√13, |AD| = x, |BD| = x + 3
Zatem:
Z tw. Pitagorasa dla ΔBCD mamy:
4² + (x + 3)² = (2√13)²
16 + x² + 6x + 9 = 4·13
x² + 6x - 27 = 0
x² - 3x + 9x - 27 = 0
x(x - 3) + 9(x - 3) = 0
(x - 3)(x + 9) = 0
x - 3 = 0 ∨ x + 9 = 0
x = 3 ∨ x = -9
x jest długością odcinka, więc nie może być liczbą ujemną, czyli:
x = 3
Zatem obwód:
Obw. = 3 + 3 + 4 + 2√13 = 10 + 2√13
