Odpowiedź :
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych. Równania (proporcje).
Mając do czynienia z wyrażeniami wymiernymi musimy pamiętać o określeniu dziedziny (mianownik nie może być zerowy).
Zad. 1
Aby dodać/odjąć wyrażenia wymierne musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika, którym najczęściej będzie iloczyn mianowników danych wyrażeń.
[tex]c)\ \dfrac{3x-6}{x-1}+\dfrac{6x-1}{2x+2}\\\\D:\ x-1\neq0\ \wedge\ 2x+2\neq0\\x\neq1\ \vedga\ x\neq-1\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{-1,\ 1\}}[/tex]
[tex]\dfrac{3x-6}{x-1}+\dfrac{6x-1}{2x+2}=\dfrac{(3x-6)(2x+2)+(6x-1)(x-1)}{(x-1)(2x+2)}\\\\=\dfrac{6x^2+6x-12x-12+6x^2-6x-x+1}{2x^2+2x-2x-2}=\dfrac{12x^2-13x-11}{2x^2-2}[/tex]
[tex]\huge\boxed{ \dfrac{3x-6}{x-1}+\dfrac{6x-1}{2x+2}=\dfrac{12x^2-13x-11}{2x^2-2}}[/tex]
[tex]d)\ \dfrac{3x-1}{x}-\dfrac{x-7}{2x-4}\\\\D:x\neq0\ \wedge\ 2x-4\neq0\\\\x\neq0\ \wedge\ x\neq2\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{0,\ 2\}}[/tex]
[tex]\dfrac{3x-1}{x}-\dfrac{x-7}{2x-4}=\dfrac{(3x-1)(2x-4)-x(x-7)}{x(2x-4)}\\\\=\dfrac{6x^2-12x-2x+4-x^2+7x}{2x^2-4x}=\dfrac{5x^2-7x+4}{2x^2-4x}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\dfrac{3x-1}{x}-\dfrac{x-7}{2x-4}=\dfrac{5x^2-7x+4}{2x^2-4x}}[/tex]
Zad.2
W tych przykładach możemy zobaczyć, że rozkładając jeden z mianowników na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnożenia
a² - b² = (a - b)(a + b),
że jednym z czynników jest drugi mianownik. Także wystarczy rozszerzyć jedno z wyrażeń wymiernych.
[tex]a)\ \dfrac{x-6}{x-1}+\dfrac{2x-6}{x^2-1}\\\\D:x-1\neq0\ \wedge\ x^2-1\neq0\\\\x\neq1\ \wedge\ x\neq-1\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{1,\ 1\}}[/tex]
[tex]\dfrac{x-6}{x-1}+\dfrac{2x-6}{x^2-1}=\dfrac{x-6}{x-1}+\dfrac{2x-6}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{(x-6)(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\dfrac{2x-6}{(x-1)(x+1)}\\\\=\dfrac{x^2+x-6x-6+2x-6}{x^2-1}=\dfrac{x^2-3x-12}{x^2-1}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\dfrac{x-6}{x-1}+\dfrac{2x-6}{x^2-1}=\dfrac{x^2-3x-12}{x^2-1}}[/tex]
[tex]b)\ \dfrac{4x}{x^2-4}-\dfrac{4}{2+x}\\\\D:x^2-4\neq0\ \wedge\ 2+x\neq0\\\\x\neq-2\ \wedge\ x\neq2\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{-2,\ 2\}}[/tex]
[tex]\dfrac{4x}{x^2-4}-\dfrac{4}{2+x}=\dfrac{4x}{x^2-2^2}-\dfrac{4}{x+2}=\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{4}{x+2}\\\\=\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{4}{x+2}\cdot\dfrac{x-2}{x-2}=\dfrac{4x}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{4x-8}{(x+2)(x-2)}\\\\=\dfrac{4x-4x+8}{x^2-4}=\dfrac{8}{x^2-4}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\dfrac{4x}{x^2-4}-\dfrac{4}{2+x}=\dfrac{8}{x^2-4}}[/tex]
Zad.3
Mamy równania, które możemy przekształcić do postaci proporcji.
Proporcja jest to równość ilorazów.
Takie równania rozwiązujemy mnożąc na krzyż.
[tex]b)\ \dfrac{-1}{x}=x+2\\\\D:x\neq0\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{0\}}\\\\\dfrac{-1}{x}=\dfrac{x+2}{1}\\\\-1\cdot1=x(x+2)\\\\-1=x^2+2x\qquad|+1\\\\x^2+2x+1=0[/tex]
Możemy zauważyć, że jest to rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]x^2+2x+1=0\\\\x^2+2\cdot x\cdot 1+1^2=0\\\\(x+1)^2=0\iff x+1=0\qquad|-1\\\\x=-1\in D\\\\\huge\boxed{x=-1}[/tex]
[tex]c)\ \dfrac{4}{x+3}=x+3\\\\D:x+3\neq0\qquad|-3\\\\x\neq-3\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{-3\}}[/tex]
[tex]\dfrac{4}{x+3}=\dfrac{x+3}{1}\\\\4\cdot1=(x+3)(x+3)\\\\4=(x+3)^2\\\\(x+3)^2=4\iff x+3=\pm\sqrt4\\\\x+3=-2\ \vee\ x+3=2\qquad|-3\\\\x=-5\in D\ \vee\ x=-1\in D\\\\\huge\boxed{x=-5\ \vee\ x=-1}[/tex]
[tex]f)\ \dfrac{-8}{x}=x+6\\\\D:x\neq0\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{0\}}[/tex]
[tex]\dfrac{-8}{x}=\dfrac{x+6}{1}\\\\-8\cdot1=x(x+6)\\\\-8=x^2+6x\qquad|+8\\\\x^2+6x+8=0\\\\x^2+2x+4x+8=0\\\\x(x+2)+4(x+2)=0\\\\(x+2)(x+4)=0\iff x+2=0\ \vee\ x+4=0\\\\x=-2\in D\ \vee\ x=-4\in D\\\\\huge\boxed{x=-4\ \vee\ x=-2}[/tex]
[tex]g)\ \dfrac{3}{x+2}=x\\\\D:x+2\neq0\qquad|-2\\\\x\neq-2\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\{-2\}}[/tex]
[tex]\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x}{1}\\\\3\cdot1=x(x+2)\\\\3=x^2+2x\qquad|-3\\\\x^2+2x-3=0\\\\x^2+3x-x-3=0\\\\x(x+3)-1(x+3)=0\\\\(x+3)(x-1)=0\iff x+3=0\ \vee\ x-1=0\\\\x=-3\in D\ \vee\ x=1\in D\\\\\huge\boxed{x=-3\ \vee\ x=1}[/tex]