Odpowiedź:
Wartość wyrażenia :
[tex]\boxed{\dfrac{5+15+25+...+115}{8+10+12+...+22} =6}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciąg arytmetyczny
a₁ -pierwszy wyraz ciągu
r - różnica ciągu arytmetycznego
[tex]a_{n} =a_{1} +(n-1)r[/tex] - wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
[tex]S_{n} =\dfrac{a_{1} +a_{n} }{2} \cdot n[/tex] - suma n-początkowych wyrazu ciągu arytmetycznego
Obliczamy sumy ciągów:
[tex]I.\\\\5+15+25+...+115=?\\\\a_{1} =5\\\\r=15-5=10\\\\a_{n} =115\\\\5+(n-1)\cdot 10=115\\\\5+10n-10=115\\\\10n=115+5\\\\10n=120~~\mid \div 10\\\\n=12~~\Rightarrow~~a_{12} =115\\\\S_{12} =\dfrac{5+115}{2} \cdot 12 =60\cdot 12=720\\\\\boxed{5+15+25+...+115=720}[/tex]
[tex]II.\\\\8+10+12+...+22=?\\\\a_{1} =8\\\\r=10-8=2\\\\a_{n} =22\\\\8+(n-1)\cdot 2=22\\\\8+2n-2=22\\\\2n=22-6\\\\2n=16~~\mid \div 2\\\\n=8~~\Rightarrow~~a_{8} =22\\\\S_{8} =\dfrac{8+22}{2} \cdot 8 =15\cdot 8=120\\\\\boxed{8+10+12+...+22=120}[/tex]
Obliczamy wartość wyrażenia:
[tex]\dfrac{5+15+25+...+115}{8+10+12+...+22} =\dfrac{720}{120} =\dfrac{72}{12} =\boxed{6}[/tex]
Odp: Wartość wyrażenia równa się 6.
