Odpowiedź :
Ustal, dla jakich wartości parametru k dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych:
a) [tex]k\in\langle0,1)[/tex]
b) [tex]k=0[/tex]
Rozwiązanie:
a) Wiemy, że wartość mianownika nigdy nie może się równać zero, zatem obliczmy, kiedy mianownik się zeruje:
[tex]\sqrt{kx^2-k+1}=0[/tex]
Wartość mianownika nie może być zerem. Wyrażenie pod pierwiastkiem nie może także być mniejsze od zera, więc dodatkowo współczynnik kierunkowy musi być większy od zera, czyli:
[tex]kx^2-k+1 > 0[/tex]
[tex]k > 0[/tex]
Obliczamy deltę:
[tex]\Delta=b^2-4ac=(0)^2-4\cdot k\cdot (-k+1)=4k^2-4k[/tex]
Wyrażenie [tex]kx^2-k+1[/tex] jest zawsze większe od zera, gdy [tex]\Delta < 0[/tex] i współczynnik kierunkowy jest dodatni czyli:
[tex]4k^2-4k < 0[/tex]
[tex]4k(k-1) < 0[/tex]
[tex]k\in (0,1)[/tex]
Dodatkowo, jeśli współczynnik kierunkowy ma być większy od zera, to:
[tex]k > 0[/tex]
Więc mamy:
[tex]k\in(0,1)[/tex]
Gdyby [tex]k[/tex] było równe [tex]0[/tex], to wówczas mielibyśmy funkcję liniową, daną wzorem:
[tex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1[/tex]
Zatem domykamy przedział w [tex]0[/tex] i mamy:
[tex]k\in\langle0,1)[/tex]
b) W tym zadaniu nie mamy ułamka, ale mamy pierwiastek. Wiemy, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być większe lub równe zero:
[tex]kx^2-kx \geq 0[/tex]
Chcemy, aby wyrażenie [tex]kx^2-kx[/tex] przyjmowało tylko wartości dodatnie lub równe 0, więc:
- Współczynnik kierunkowy, tutaj równy k, musi być większy od 0
- Wyrażenie [tex]kx^2-kx=0[/tex] może posiadać maksymalnie jedno rozwiązanie, czyli [tex]\Delta\leq0[/tex]
[tex]\Delta=b^2-4ac=(-k)^2-4\cdot k\cdot 0=k^2[/tex]
Wyrażenie [tex]k^2[/tex] nigdy nie będzie mniejsze od zera, a wartość 0 przyjmie, gdy [tex]k=0[/tex], ale w 1. punkcie mamy, że k musi być większe od zera, zatem zachodzi sprzeczność.
Rozważmy przypadek, gdy:
[tex]k=0[/tex]
Wówczas mamy funkcję liniową daną wzorem: [tex]f(x)=\sqrt{0}=0[/tex]. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być liczbą większą lub równą zero, zatem tutaj jest spełniony ten warunek, niezależnie od wartości [tex]x[/tex], więc dla [tex]k=0[/tex] dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
#SPJ1