Witaj :)
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości następującego wyrażenia:
[tex]\Large \boxed{\frac{8\sin\alpha-\cos\alpha}{7\sin\alpha+6\cos\alpha}}[/tex]
Jeżeli dany mamy warunek:
[tex]ctg\alpha=3[/tex]
- Zapisujemy inaczej cotangens kąta alfa, korzystając z tożsamości trygonometrycznej
[tex]ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\ \ \wedge\ \ \ \sin\alpha\neq 0[/tex]
- Wyznaczamy z powyższej tożsamości cosinus alfa
[tex]ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \ /\cdot \sin\alpha\\\\ctg\alpha\cdot \sin\alpha=\cos\alpha[/tex]
- Z warunku wiemy, że ctgα = 3, więc możemy zapisać, że
[tex]\cos\alpha=3\sin\alpha[/tex]
- Podstawiamy powyższe wyprowadzenie do wyrażenia początkowego i obliczamy
[tex]\frac{8\sin\alpha-\cos\alpha}{7\sin\alpha+6\cos\alpha}=\frac{8\sin\alpha-3\sin\alpha}{7\sin\alpha+6\cdot 3\sin\alpha}=\frac{5\sin\alpha}{7\sin\alpha+18\sin\alpha}=\frac{5\sin\alpha}{25\sin\alpha}=\boxed{\frac{1}{5} }[/tex]
Odpowiedź.:
[tex]\Large \boxed{\frac{8\sin\alpha-\cos\alpha}{7\sin\alpha+6\cos\alpha}=\frac{1}{5} }[/tex]
