Mamy dwa wyrażenia w wartościach bezwzględnych.
Pierwsze "zeruje się" dla x = 0, a drugie: x+1=0 dla x = -1
To oznacza, że równanie rozpatrujemy w trzech przedziałach:
[tex]1^o\ (-\infty\,,\,-1\big > ,\ \ 2^o\ (-1\,,\ 0\big >[/tex] oraz [tex]3^o\ (0\,,\ \infty)[/tex]
odpowiednio zmieniając znaki przy opuszczaniu wartości bezwzględnej.
Z definicji wartości bezwzględnej mamy:
[tex]\bold{|a|=a\,,\ \,dla\ a\ge0}\\\\\bold{|a|=-a\,,\ \, dla\ a < 0}[/tex]
{gdzie a jest wyrażeniem wewnątrz znaku wart. bezwgl.}
Zatem:
dla [tex]x\in(-\infty\,,\,-1\big >[/tex] mamy:
[tex]x < 0\qquad\implies\quad|x|=-x\\x+1 < 0\quad\implies\quad|x+1|=-(x+1)[/tex]
Czyli równanie:
[tex]-|x| + |x + 1| = 1\\\\-(-x) - (x + 1) = 1\\\\x-x-1=1\\\\-1=1[/tex]
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nie istnieje rozwiązanie równania w przedziale (-∞,1>: x∈∅
dla [tex]x\in (-1\,,\ 0\big >[/tex] mamy:
[tex]x < 0\qquad\implies\quad|x|=-x\\x+1 > 0\quad\implies\quad|x+1|=x+1[/tex]
Czyli równanie:
[tex]-|x| + |x + 1| = 1\\\\-(-x) + x + 1 = 1\\\\x+x+1=1\\\\2x=0\\\\x=0\ \ \in(-1\,,\ 0\big >[/tex]
Zatem x = 0 jest rozwiązaniem równania.
dla [tex]x\in (0\,,\ \infty)[/tex]
[tex]x > 0\qquad\implies\quad|x|=x\\x+1 > 0\quad\implies\quad|x+1|=x+1[/tex]
Czyli równanie:
[tex]-|x| + |x + 1| = 1\\\\-x + x + 1 = 1\\\\1=1[/tex]
Otrzymana tożsamość oznacza, że do rozwiązania równania należy cały rozpatrywany przedział, czyli: x∈(0, ∞)
Rozwiązanie równania to suma rozwiązań ze wszystkich rozpatrywanych przypadków:
[tex]x\in \varnothing\cup\{0\}\cup(0\,,\ \infty)\\\\\large\boxed{\bold{x\in\big < 0\,,\,\infty)}}[/tex]
Uwaga dodatkowa:
Przy domykaniu przedziałów przy liczbach zerujących nie ma znaczenia do którego przedziału włączymy liczbę zerującą. Gdybym ustawiła przedziały: [tex]1^o\ (-\infty\,,\,-1\big > ,\ \ 2^o\ (-1\,,\ 0)[/tex] i [tex]3^o\ \big < 0\,,\ \infty)[/tex], to w drugim przypadku mielibyśmy brak rozwiązań, ale x=0 znalazłoby się w przedziale trzeciego przypadku, więc wynik końcowy byłby taki sam.
