Odpowiedź:
[tex](1-\cos\alpha)\left(\dfrac{1}{\sin\alpha}+\dfrac{1}{\text{tg}\alpha}\right)=\sin\alpha[/tex]
[tex]\mathbb{D}:\\\\\sin\alpha\neq0\ \wedge\ \text{tg}\alpha\neq0\ \wedge\ \alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{C})\\\\\alpha\neq k\pi\ (k\in\mathbb{C})\ \wedge\ \alpha\neq k\pi\ (k\in\mathbb{C})\ \wedge\ \alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\ (k\in\mathbb{C})\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}=\mathbb{R}-\left\{\dfrac{k\pi}{2}\right\}\ (k\in\mathbb{C})}[/tex]
[tex]L=(1-\cos\alpha)\left(\dfrac{1}{\sin\alpha}+\dfrac{1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)\qquad(1)\\=(1-\cos\alpha)\left(\dfrac{1}{\sin\alpha}+\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\right)\\\\=(1-\cos\alpha)\cdot\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\\=\dfrac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}\qquad(2)\\=\dfrac{1^2-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\\\\=\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\qquad(3)\\\\=\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}\\\\=\sin\alpha\\\\P=\sin\alpha\\\\\huge\boxed{L=P}\\\\\blacksquare[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystamy z tożsamości trygonometrycznych:
[tex](1)\qquad\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\(3)\qquad\sin^2x+\cos^2x=1\to\sin^2x=1-\cos^2x[/tex]
oraz ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](2)\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
