Odpowiedź:
104
Szczegółowe wyjaśnienie:
Najpierw policzmy wszystkie liczby trzycyfrowe podzielne przez 7, a potem od ich liczby odejmiemy te, które mają 0 w zapisie.
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego. Pierwszą liczbą trzycyfrową podzielną przez 7 jest 105, a ostatnią 994, więc
[tex]a_1=105\\a_n=994\\r=7\\a_n=a_1+(n-1)*r\\994=105+(n-1)*7\ |-105\\889=(n-1)*7\ |:7\\127=n-1\\n=128[/tex]
Skoro liczby te mają nie mieć w zapisie 0, więc rozważmy 2 przypadki.
Przypadek 1: 0 jest cyfrą jedności.
Wtedy liczby te muszą być podzielne przez 10, a ponieważ są również podzielne przez 7, więc muszą być podzielne przez 70. Są to liczby:
140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, 840, 910, 980
Razem jest ich 13.
Przypadek 2: 0 jest cyfrą dziesiątek.
Są to liczby:
105, 203, 301, 308, 406, 504, 602, 609, 707, 805, 903
Razem jest ich 11.
Uwaga: nie uwzględniam tu 700, bo jest już uwzględniona w przypadku 1.
Zatem ostatecznie liczb trzycyfrowych bez cyfry 0 podzielnych przez 7 jest
128-13-11=104
