W zadaniu musimy ocenić prawdziwość podanych zdań.
I. Prawda
II. Prawda
III. Fałsz
Obliczenia:
Obliczmy współrzędne środka odcinka AB, korzystając ze wzoru. Dla punktów [tex]A=(x_A,y_A),B=(x_B,y_B)[/tex] mamy:
[tex]S=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A,y_B}{2})[/tex]
Zatem dla punktów danych w zadaniu:
[tex]S=(\frac{2+4}{2},\frac{1+(-3)}{2})=(\frac{6}{2},\frac{1-3}{2})=(3, -1)[/tex]
Więc pierwsze zdanie to prawda.
Teraz wyznaczmy równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez punkty A i B:
[tex]\left \{ {{1=2a+b} \atop {-3=4a+b}} \right.[/tex]
Pierwsze równanie mnożymy razy -1 i dodajemy równania stronami:
[tex]\left \{ {{-1=-2a-b} \atop {-3=4a+b}} \right.[/tex]
[tex]-1-3=4a-2a+b-b[/tex]
[tex]-4=2a[/tex]
[tex]a=-2[/tex]
zatem:
[tex]1=2a+b\rightarrow 1-2a=b\rightarrow 1-2\cdot (-2)=b\rightarrow b=5[/tex]
więc prosta ma wzór:
[tex]y=-2x+5[/tex]
Sprawdzamy czy punkt (0,5) należy do prostej, podstawiając jego współrzędne do równania prostej:
[tex]5=-2\cdot 0+5[/tex]
[tex]5=5[/tex]
Otrzymaliśmy prawdziwą równość, więc punkt leży na prostej, zatem drugie zdanie to prawda.
Sprawdzamy czy punkt (5,-4) należy do prostej, podstawiając jego współrzędne do równania prostej:
[tex]-4=-2\cdot 5+5[/tex]
[tex]-4=-10+5[/tex]
[tex]-4\neq -6[/tex]
Otrzymaliśmy nieprawdziwą równość, więc punkt nie leży na prostej, zatem trzecie zdanie to fałsz.
