15.
a)
Kąt BCD jest kątem prostym (kąt kwadratu), czyli:
|∡ACE| = 90° - 45° = 45°
Kąt AEC jest kątem przyległym do kąta AED, czyli:
|∡AEC| = 180° - 60° = 120°
Skoro |∡AED| = 60°, to |∡DAE| = 180° - 90° - 60° = 30°
Zatem:
|∡CAE| = 90° - 30° - 45° = 15°
Spr.: 15° + 120° + 45° = 180°
Odp.: |∡ACE| = 45°, |∡AEC| = 120°, |∡CAE| = 15°
b)
Trójkąt o kątach 30°, 60° i 90° jest połówką trójkąta równobocznego, czyli z własności tego trójkąta (rys. w zał. 1):
|DE| = 0,5|AE| oraz:
[tex]|AD|=\dfrac{|AE|\sqrt3}2\\\\18=\dfrac{|AE|\sqrt3}2\qquad/\cdot2\sqrt3\\\\36\sqrt3=|AE|\cdot3\qquad/:3\\\\|AE|=12\sqrt3\ cm[/tex]
Czyli: [tex]|DE|=0,5\cdot12\sqrt3=6\sqrt3\ cm[/tex]
Stąd:
|CE| = 18 - 6√3 = 6(3 - √3) cm
Bok AD jest wysokością trójkąta ACE prostopadłą do boku CE, czyli:
[tex]P=\frac12\cdot|CE|\cdot|AD|\\\\P=\frac12\cdot6(3-\sqrt3)\cdot18=54(3-\sqrt3)\,cm^2[/tex]
Odp.: Pole trójkąta ACE wynosi: 54(3 - √3) cm²
c)
AC jest przekątną kwadratu (drugi załącznik), czyli:
|AC| = |AB|√2 = 18√2 cm
Czyli obwód trójkąta ACE:
[tex]Obw.=|AC| + |CE| + |AE|\\\\Obw.=18\sqrt2+18-6\sqrt3+12\sqrt3=18+18\sqrt2+6\sqrt3=6(3+3\sqrt2+\sqrt3)\,cm[/tex]
Odp.: Obwód trójkąta ACE wynosi: 6(3+3√√2+√3) cm
16.
Jeśli przyjmiemy długość boku kwadratu K₂ jako a₂ = 2x, to z własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (pierwszy załacznik) mamy:
Długość boku kwadratu K₁: [tex]a_1=\frac{a_2}2=\frac{2x}2=x[/tex]
Długość boku kwadratu K₃: [tex]a_3=\frac{a_2\sqrt3}2=\frac{2x\sqrt3}2=x\sqrt3[/tex]
Oraz:
Pole kwadratu K₁: [tex]P_1=(a_1)^2=x^2[/tex]
Pole kwadratu K₂: [tex]P_2=(a_2)^2=(2x)^2=4x^2[/tex]
Pole kwadratu K₃: [tex]P_3=(a_3)^2=(x\sqrt3)^2=3x^2[/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{4x^2}{x^2}=4[/tex] czyli:
pierwsze zdanie to PRAWDA
oraz:
[tex]\dfrac{P_3}{P_1}=\dfrac{3x^2}{x^2}=3[/tex] czyli również:
drugie zdanie to PRAWDA
