Szukana odległość punktu E od wierzchołka A wynosi z = 3√2.
Obliczenia poniżej.
Rysunek pomocniczy w załączniku.
Przez punkt E poprowadzono proste równoległe do boków prostokąta ABCD aby móc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa tym samym zapisać odpowiednie równania.
Przypomnijmy - dla trójkąta prostokątnego:
[tex]a^2 + b^2 = c^2 \\\\[/tex]
gdzie:
a, b - długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym
c - długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym
Zgodnie z rysunkiem możemy zapisać odpowiednie zależności:
Szukana odległość:
[tex]z^2 = w^2 + b^2 \\\\oraz: \\\\\left \{ {{x^2 + b^2 = 3^2} \\\atop {a^2 + x^2 = 4^2}} \\\atop {w^2 + z^2 = 5^2}}\right. \\\\[/tex]
[tex]\left \{ {{x^2 + b^2 = 9} \atop {a^2 + x^2 = 16}} \atop {w^2 + z^2 = 25}}\right. \\\\[/tex]
Otrzymaliśmy 3 równania z 3 niewiadomymi.
Stosujemy podstawienie - wyznaczymy z drugiego równania 'x²' a następnie wstawiamy je do równania pierwszego. Otrzymujemy:
[tex]\left \{ {{x^2 + b^2 = 9} \atop {x^2 = 16-a^2}} \atop {w^2 + a^2 = 25}}\right. \\\\\left \{ {{16-a^2 + b^2 = 9} \atop { x^2 = 16-a^2}} \atop {w^2 + a^2 = 25}}\right. \\\\[/tex]
[tex]\left \{ {{-a^2 + b^2 = -7| \cdot (-1)} \atop { x^2 = 16-a^2}} \atop {w^2 + a^2 = 25}}\right. \\\\[/tex]
czyli:
[tex]\left \{ {{a^2 - b^2 = 7} \atop { x^2 = 16-a^2}} \atop {w^2 + a^2 = 25}}\right. \\\\[/tex]
Wyznaczamy a² z pierwszego równania i wstawiamy do równania trzeciego:
[tex]\left \{ {{a^2 = 7 + b^2} \atop { x^2 = 16-a^2}} \atop {w^2 + 7 + b^2 = 25}}\right. \\\\[/tex]
Z trzeciego równania otrzymujemy, że:
[tex]w^2 + b^2 = 25 - 7 \\\\w^2 + b^2 = 18 \\\\[/tex]
Pamiętajmy, że szukana odległość to:
[tex]z^2 = w^2 + b^2 \ \ \rightarrow \ \ z^2 = 18 \ \ \rightarrow\ \ z = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}[/tex]
Wniosek: Odległość punktu E do wierzchołka A wynosi 3√2.
#SPJ1
