Odpowiedź:
x = 2√5 - 2 ⇒ nie jest liczbą całkowitą
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x=\bigg[\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)^{-\frac{1}{2}}\bigg]^2[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
[tex]x=\bigg[\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{-\frac{1}{2}}\bigg]^2-2\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{-\frac{1}{2}}\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)^{-\frac{1}{2}}+\bigg[\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)^{-\frac{1}{2}}\bigg]^2[/tex]
skorzystamy z twierdzeń:
[tex](a^n)^m=a^{nm}\\\\a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n[/tex]
[tex]x=\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{-\frac{1}{2}\cdot2}-2\bigg[\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)\bigg]^{-\frac{1}{2}}+\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)^{-\frac{1}{2}\cdot2}[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]
[tex]x=\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{-1}-2\bigg[\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2-2^2\right)\bigg]^{-\frac{1}{2}}+\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)^{-1}[/tex]
[tex]x=\dfrac{1}{5^{\frac{1}{2}}+2}-2\bigg(5^{\frac{1}{2}\cdot2}-4\bigg)^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{5^{\frac{1}{2}}-2}[/tex]
[tex]x=\dfrac{1}{5^{\frac{1}{2}}+2}+\dfrac{1}{5^{\frac{1}{2}}-2}-2\bigg(5^1-4\bigg)^{-\frac{1}{2}}[/tex]
sprowadzamy do wspólnego mianownika
[tex]x=\dfrac{5^{\frac{1}{2}}-2+5^{\frac{1}{2}}+2}{\left(5^{\frac{1}{2}}+2\right)\left(5^{\frac{1}{2}}-2\right)}-2\cdot1^{-\frac{1}{2}}[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]
[tex]x=\dfrac{2\cdot5^{\frac{1}{2}}}{\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2-2^2}-2\cdot1[/tex]
[tex]x=\dfrac{2\cdot5^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}\cdot2}-4}-2[/tex]
[tex]x=\dfrac{2\cdot5^{\frac{1}{2}}}{5^1-4}-2[/tex]
[tex]x=\dfrac{2\cdot5^{\frac{1}{2}}}{5-4}-2[/tex]
[tex]x=\dfrac{2\cdot5^{\frac{1}{2}}}{1}-2[/tex]
[tex]x=2\sqrt5-2[/tex]
[tex]x\notin\mathbb{C}[/tex]
