Odpowiedź:
Jest to tożsamość trygonometryczna.
Dla cosα = 4/5, przyjmuje wartość 10/3.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}+\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\dfrac{2}{\sin\alpha}\\\\L=\dfrac{(1-\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}+\dfrac{\sin\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}\\\\=\dfrac{1-\cos\alpha-\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}[/tex]
skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
[tex]=\dfrac{1-2\cos\alpha+1}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}\\\\=\dfrac{2-2\cos\alpha}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}\\\\=\dfrac{2(1-\cos\alpha)}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}\\\\=\dfrac{2}{\sin\alpha}=P[/tex]
[tex]\cos\alpha=\dfrac{4}{5}[/tex]
Obliczmy wartość funkcji sinus korzystając z tożsamości
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
[tex]\sin^2\alpha+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1\\\\\sin^2\alpha+\dfrac{16}{25}=1\qquad|-\dfrac{16}{25}\\\\\sin^2\alpha=\dfrac{9}{25}\Rightarrow\sin\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{9}{25}}\\\\\sin\alpha=-\dfrac{3}{5}\ \vee\ \sin\alpha=\dfrac{3}{5}[/tex]
Kąt α jest kątem ostrym. W związku z tym, wartość funkcji sinus jest dodatnia.
Podstawiamy sinα = 3/5:
[tex]\dfrac{2}{\sin\alpha}\Rightarrow\dfrac{2}{\frac{3}{5}}=2\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{3}[/tex]
