Witaj :)
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz tego ciągu różni się od poprzedniego o stałą wartość zwaną różnicą ciągu arytmetycznego. Wzór ogólny takiego ciągu wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}[/tex]
gdzie:
[tex]a_1 -[/tex] pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
[tex]r-[/tex] różnica ciągu arytmetycznego.
Powiedzieliśmy sobie, że w ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość zwaną różnicą tego ciągu. Aby zatem obliczyć różnicę ciągu wystarczy od wyrazu kolejnego odjąć wyraz poprzedni. Możemy zatem zapisać wzór na różnicę:
[tex]\Large \boxed{r=a_{n+1}-a_{n}}[/tex]
Podpunkt a
Dany mamy następujący ciąg arytmetyczny:
[tex]2,4,6,8,10...[/tex]
[tex]r=4-2=2[/tex]
- Zapisuje wzór ogólny ciągu
[tex]a_1=2\\r=2\\\\a_n=2+(n-1)\cdot 2=2+2n-2=2n\\\\\boxed{a_n=2n\implies wzor\ ogolny\ ciagu\ }[/tex]
- Obliczam dwudziesty wyraz ciągu
[tex]a_n=2n\ \ dla\ n=20\\\\a_{20}=2\cdot 20=40\\\\\boxed{a_{20}=40\implies dwudziesty\ wyraz\ ciagu}[/tex]
Odpowiedź.: Wzór ogólny tego ciągu to [tex]\boxed{a_n=2n}[/tex], a dwudziesty wyraz ma wartość [tex]\boxed{a_{20}=40}[/tex].
Podpunkt b
Dany mamy następujący ciąg arytmetyczny:
[tex]4,4\frac{1}{2}, 5,5\frac{1}{2},6...[/tex]
[tex]r=4\frac{1}{2}-4=\frac{1}{2}[/tex]
- Zapisuje wzór ogólny ciągu
[tex]a_1=4\\r=\frac{1}{2}\\\\a_n=4+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=4+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+3\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(n+3)\\\\\boxed{a_n=\frac{1}{2}(n+3)\implies wzor\ ogolny\ ciagu }[/tex]
- Obliczam wyraz dwudziesty
[tex]a_n=\frac{1}{2}(n+3)\ dla \ n=20\\\\a_{20}=\frac{1}{2}(20+3)=\frac{1}{2}\cdot 23=\frac{23}{2}=11\frac{1}{2} \\\\\boxed{a_{20}=11\frac{1}{2}\implies dwudziesty\ wyraz\ ciagu }[/tex]
Odpowiedź.: Wzór ogólny tego ciągu to [tex]\boxed{a_n=\frac{1}{2}(n+3) }[/tex], a dwudziesty wyraz ma wartość [tex]\boxed{a_{20}=11\frac{1}{2} }[/tex].
Podpunkt c
Dany mamy następujący ciąg arytmetyczny:
[tex]3,2,1,0,-1,-2...[/tex]
[tex]r=2-3=-1[/tex]
- Zapisuje wzór ogólny ciągu
[tex]a_1=3\\r=-1\\\\a_n=3+(n-1)\cdot(-1)=3+(-n+1)=3-n+1=-n+4\\\\\boxed{a_n=-n+4\implies wzor\ ogolny\ ciagu}[/tex]
- Obliczam wyraz dwudziesty
[tex]a_n=-n+4\ dla\ n=20\\\\a_{20}=-20+4=-16\\\\\boxed{a_{20}=-16\implies dwudziesty\ wyraz\ ciagu}[/tex]
Odpowiedź.: Wzór ogólny tego ciągu to [tex]\boxed{a_n=-n+4 }[/tex], a dwudziesty wyraz ma wartość [tex]\boxed{a_{20}=-16 }[/tex].
