Witaj :)
Trójkąt z kątem 30°
Do obliczenia długości odcinków "x" oraz "y" skorzystamy z funkcji trygonometrycznych.
- Obliczam długość odcina "x" korzystając z sinusa kąta α
[tex]\sin\alpha=\frac{x}{8\sqrt{3}} \\\\\sin30^\circ=\frac{x}{8\sqrt{3}} \\\\\frac{1}{2}=\frac{x}{8\sqrt{3}} \\\\2x=8\sqrt{3}\ /:2\\\\x=\frac{8\sqrt{3}}{2}\\ \\\boxed{x=4\sqrt{3}}[/tex]
- Obliczam długość odcinka "y" korzystając z cosinusa kąta α
[tex]\cos\alpha=\frac{y}{8\sqrt{3}}\\\\\cos30^\circ=\frac{y}{8\sqrt{3}} \\\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{y}{8\sqrt{3}}\\ \\ 2y=8\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\\\\2y=8\sqrt{9}\\\\2y= 8\cdot 3\\\\2y=24\ /:2\\\\\boxed{y=12}[/tex]
- Sprawdzenie, czy długości odcinków "x", oraz "y" zostały dobrze obliczone
Tw. Pitagorasa
[tex]x^2+y^2=c^2\\\\(4\sqrt{3})^2+12^2=(8\sqrt{3})^2\\\\16\cdot 3+144=64\cdot 3\\\\48+144=192\\\\192=192\implies \boxed{PRAWDA}[/tex]
Odpowiedź.: Odcinki x, oraz y mają długość odpowiednio 4√3 i 12.
Trójkąt z kątem 45°
Obliczenia będą analogiczne jak powyżej.
- Obliczam długość odcinka "c" korzystając z sinusa kąta α
[tex]\sin\alpha=\frac{c}{10\sqrt{6}}\\ \\\sin45^\circ=\frac{c}{10\sqrt{6}} \\\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{c}{10\sqrt{6}}\\ \\ 2c=10\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}\\\\2c=10\sqrt{12}\\\\2c=10\sqrt{4\cdot 3}\\\\2c=10\cdot 2\sqrt{3}\\\\2c=20\sqrt{3}\ /:2\\\\\boxed{c=10\sqrt{3}}[/tex]
- Obliczam długość odcinka "d" korzystając z cosinusa kata α
[tex]\cos\alpha=\frac{d}{10\sqrt{6}}\\ \\\cos45^\circ=\frac{d}{10\sqrt{6}} \\\\\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{d}{10\sqrt{6}}\\ \\ 2c=10\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}\\\\2d=10\sqrt{12}\\\\2d=10\sqrt{4\cdot 3}\\\\2d=10\cdot 2\sqrt{3}\\\\2d=20\sqrt{3}\ /:2\\\\\boxed{d=10\sqrt{3}}[/tex]
- Sprawdzenie, czy długości odcinków "c", oraz "d" zostały dobrze obliczone
Tw. Pitagorasa
[tex](10\sqrt{3})^2+(10\sqrt{3})^2=(10\sqrt{6})^2\\\\100\cdot 3+100\cdot 3=100\cdot 6\\\\300+300=600\\\\600=600\implies \boxed{PRAWDA}[/tex]
Odpowiedź.: Odcinki c, oraz d są tej samej długości, każdy po 10√3.
