Podstawa ln jest liczba Eulera e jest wieksza od zera
ln(x²-2x-3)<=ln(1+x)
mozna porownac argumenty nie zminiajac kier. nierownosci
ale wazna jest dziedzina funkcji
x²-2x-3>0 i 1+x>0 i
x²-2x-3<=1+x
-------------------------
x²-2x-3>0 i 1+x>0 i
x²-3x-4<=0
----------------------
x²-2x-3>0 i x>-1 i x²-3x-4<=0
patrz zalacznik
x∈(3,4]
==============================================================
zad 2
a) wykres funkcji
patrz zalacznik
b) granica w punkcie x=-1
f(x)=|x^2-3x-4|
sa rozne def. granicy funkcji
ja przyjmuje ciag argumantow ktory w niesk dazy do -1
i badam ciag wart funkcji
xn=-1+1/n
fn=|1-2/n+1/n²+3-3/n-4|
fn=|1/n²-5/n|
lim(fn) gdy n->niesk =|0|=0
WNIOSEK
lim f(x) gdy x->-1 =0
lub drugi sposob - dla funkcji ciaglych / abs nie wprowadza nieciagl. f/
lim f(x) gdy x->-1 =f(-1)=0
c) zbadaj różniczkowalność w punkcie x=-1
nalezy policzyc pochodna prawostronna
i pochodna lewostronna.
/ sa dwie mozliwosci albo skorzystac z podstawowej def pochodnej
lub wykorzystac gotowy wzor/
Ja wykorzystam gotowy wzor - ale musze napisac funkcje
przed -1 (zielona) i po -1 (czerwona)
f(x)=|x^2-3x-4|=|(x+1)(x-4)|
|x+1|=(x+1) gdy x wieksze rowne od -1 /nie uzuwam znaku mniejsz. bo powoduje ERROR w html/
|x+1|=-(x+1) gdy x mniesze od -1
A) f(x)=(x+1)(x-4)=x²-3x-4 prawa strona
B) f(x)=-(x+1)(x-4)=-x²+3x+4 lewa strona
fA(x)=2x-3 fA(-1)=-5 poch. prawostronna
fB(x)=-2x+3 fB(-1)=5 poch. lewo stronna
f(x) nie ma poch. dla x=-1 bo pochodna prawostronna jest rozna
od pochodnej lewostronnej
=================================
zad 3
Rozwiąż zagadnienie brzegowe jeśli istnieje
y"+4y'+13=0
zakladam y=e^(rx)
y'=re^(rx)
y"=r²e^(rx)
rownanie charakterystyczne
r²+4r+13=0
Δ=16-52=-36 √Δ=6i
r1=(-4-6i)/2=-2-3i
r2=(-4+6i)/2=-2+3i
y(x)=e^(-2x)*[c1cos(3x)+c2sin(3x)]
c1 i c2 nalezy policzyc z warunkow brzegowych
