Odpowiedź :
Odpowiedź:
[tex]$\tan \alpha =3\sqrt{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Posłużmy się Twoim rysunkiem (prawa strona). Niech:
[tex]|AB|=2a \iff |DB|=a[/tex]
[tex]|EF|=h[/tex]
Pole trójkata:
[tex]$P_{t}=\frac{1}{2}ah[/tex]
Pole czworokąta obliczamy jako różnicę pól - trójkąta równobocznego i powstałego trójkąta:
[tex]$P_{c}=\frac{4a^{2}\sqrt{3}}{4}- \frac{1}{2}ah=a^{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}ah[/tex]
Teraz ze stosunku mamy:
[tex]$\frac{P_{c}}{P_{t}}=\frac{5}{3} \iff \frac{a^{2}\sqrt{3}- \frac{1}{2}ah}{ \frac{1}{2}ah} = \frac{5}{3}[/tex]
[tex]$a^{2}\sqrt{3} \cdot \frac{2}{ah} -1=\frac{5}{3}[/tex]
[tex]$\frac{2a\sqrt{3}}{h} =\frac{8}{3} \iff h=\frac{3a\sqrt{3}}{4}[/tex]
Teraz popatrzmy sobie na trójkąt prostokątny [tex]BEF[/tex]. Wiemy, że:
[tex]|EF|=h[/tex]
Ten trójkąt ma kąty [tex]30^{\circ}[/tex], [tex]60^{\circ}[/tex], [tex]90^{\circ}[/tex]. Z jego własności:
[tex]$|BF|=\frac{h\sqrt{3}}{3} =\frac{3a}{4}[/tex]
Teraz obliczamy długość odcinka [tex]|DF|[/tex] :
[tex]$|DF|=|DB|-|BF|=a-\frac{3a}{4} =\frac{a}{4}[/tex]
Na koniec patrzymy na trójkąt prostokątny [tex]DE[/tex][tex]F[/tex] :
[tex]$\tan \alpha=\frac{|EF|}{|DF|}=\frac{\frac{3a\sqrt{3}}{4} }{\frac{a}{4} }=\frac{3a\sqrt{3}}{a} =3\sqrt{3}[/tex]