Witaj :)
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]tg\alpha=-\frac{5}{12}\ \ \wedge \ \ \alpha \in(90^\circ;180^\circ)[/tex]
Mamy do czynienia z drugą ćwiartką. Funkcje trygonometryczne przyjmują następujące znaki:
[tex]\sin\alpha > 0\\\cos\alpha < 0\\tg\alpha < 0\\ctg\alpha < 0[/tex]
W pierwszej kolejności obliczmy wartość cotangensa tego kąta. Cotangens kąta alfa jest odwrotnością tangensa tego kąta, co możemy zapisać:
[tex]\Large \boxed{ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}}[/tex]
Obliczmy zatem wartość cotangensa kąta alfa:
[tex]ctg\alpha=\frac{1}{-\frac{5}{12} }=\boxed{-\frac{12}{5} }[/tex]
Teraz zajmiemy się obliczeniem sinusa kąta alfa. Skorzystamy najpierw z następującej tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\Large \boxed{tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \ dla\ \cos\alpha\neq 0 }[/tex]
Podstawiamy w miejsce tangensa wartość z treści zadania i wyznaczamy cosinus:
[tex]-\frac{5}{12}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ /\cdot cos\alpha\\ \\ -\frac{5}{12}\cos\alpha=\sin\alpha\ /\cdot (-\frac{12}{5})\\ \\ \cos\alpha=-\frac{12}{5}\sin\alpha[/tex]
Aby obliczyć wartość sinusa skorzystamy z kolejnej tożsamości trygonometrycznej, a mianowicie "jedynki trygonometrycznej":
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
W miejsce cosinusa podstawiamy to co wyznaczyliśmy wyżej:
[tex]\sin^2\alpha+(-\frac{12}{5}\sin\alpha)^2=1\\ \\sin^2\alpha+\frac{144}{25}\sin^2\alpha=1\\ \\\frac{169}{25} \sin^2\alpha=1\ /\cdot \frac{25}{169} \\\\\sin^2\alpha=\frac{25}{169}\ / \sqrt{...}\\ \\\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{169}}=\boxed{\frac{5}{13} }[/tex]
Ostatnim etapem będzie obliczenie wartości cosinusa kąta alfa. W tym celu skorzystamy z wcześniej wyznaczonej zależności:
[tex]\cos\alpha=-\frac{12}{5}\sin\alpha\\ \\\cos\alpha=-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=-12\cdot \frac{1}{13}=\boxed{-\frac{12}{13} }[/tex]
Odpowiedź.:
[tex]\sin\alpha= \frac{5}{13}\\ \\\cos\alpha=-\frac{12}{13}\\ \\tg\alpha=-\frac{5}{12}\\ \\ctg\alpha=-\frac{12}{5}[/tex]
