Odpowiedź :
Odpowiedź:
cosα =4/5
cos²α=(4/5)² = 16/25
1 - sin²α = 16/25
sin²α = 1 - 16/25 = 9/25
sinα = √(9/25) = 3/5
h - wysokość trapezu = 6 [j]
b - krótsza podstawa = 4 [j]
a - dłuższa podstawa = ?
c - ramię trapezu = ?
h : (a -b) = tgα = sinα/cosα = 3/5 : 4/5 = 3/5 * 5/4 = 3/4
6 : (a - 4) = 3/4
6 * 24 = 3(a - 4)
24 = 3a - 12
3a = 24 + 12 = 36
a = 36/3 = 12 [j]
h/c = sinα = 3/4
h = c * 3/4
c = h : 3/4 = h * 4/3 = 6 * 4/3 = 2 * 4 = 8 [j]
O - obwód trapezu = a + b + c + h = 12 + 4 + 8 + 6 = 30 [j]
[j] - znaczy właściwa jednostka
Odpowiedź:
18+2√13
Szczegółowe wyjaśnienie:
W trapezie prostokątnym wysokość 'h" równa jest długości boku łączącego obie podstawy. Fakt ten wykorzystamy do znalezienia długości dłuższej (dolnej) podstawy. Wcześniej jednak znajdziemy długość przekątnej (oznaczmy ją "c") łączącej lewy górny wierzchołek trapezu z prawym dolnym, gdyż mamy tutaj trójkąt prostokątny, w którym wysokość trapezu i dolna podstawa są przyprostokątnymi, a przekątna trapezu przeciwprostokątną, zatem:
h/c = sinα
h = 6
6/c = sinα
Z "jedynki trygonometrycznej", podstawiając cosα = 4/5, znajdujemy sinα:
sin²α + cos²α = 1
sin²α + (4/5)² = 1
sin²α + 16/25 = 1
sin²α = 1 - 16/25
sin²α = 9/25
sinα = √(9/25)
sinα = 3/5
Znalezione sinα wstawiamy do równania 6/c = sinα:
6/c = sinα
6/c = 3/5
Mnożymy na "krzyż":
3 razy c = 6 razy 5
3c = 30
c = 10
Znaleźliśmy długość przekątnej trapezu, będącej jednocześnie przeciwprostokątną rozpatrywanego trójkąta prostokątnego. Z tw. Pitagorasa znajdujemy długość dolnej podstawy trapezu (oznaczmy ją: "a"):
a² + h² = c²
a² + 6² = 10²
a² + 36 = 100
a² = 100 - 36
a² = 64
a = 8
Do znalezienia obwodu potrzebujemy jeszcze wyznaczyć długość (oznaczmy ją "d) drugiego ramienia trapezu (tego z prawej strony). W tym celu wyznaczymy kolejny trójkąt prostokątny. Z prawego górnego wierzchołka prowadzimy wysokość h1 na dolną podstawę. Wysokość ta jest równa wysokości podanej w zadaniu, czyli wynosi 6. Jednocześnie dzieli ona podstawę na dwa odcinki, Pierwszy z nich jest równy górnej podstawie, czyli jego długość wynosi 4. Drugi odcinek - ten, który nas interesuje - ma więc długość 8 - 4 = 4 (bo cała dolna podstawa ma długość 8). W tym "nowym" trójkącie prostokątnym (z prawej strony trapezu) szukane ramię trapezu będzie przeciwprostokątną, a wysokość h1 i wyznaczona część podstawy (oznaczmy ją "a1") będą przyprostokątnymi. Z tw. Pitagorasa obliczamy długość ramienia "d":
a1² + h1² = d²
4² + 6² = d²
d² = 16 + 36
d² = 52
d = √52
d = 2√13
W ten sposób mamy już wszystko, co jest potrzebne do znalezienia obwodu trapezu:
- dolna podstawa ma długość 8
- górna podstawa ma długość 4
- "lewe" ramię ma długość 6
- "prawe ramię" ma długośc 2√13
Dodajemy te wartości do siebie i znajdujemy obwód trapezu:
L = 8+4+6+2√13 = 18+2√13