Twierdzenie cosinusów.
Zad.1.
- Suma miar dwóch największych katów tego trójkąta jest równa [tex]180^\circ[/tex] minus miara najmniejszego kąta.
- Najmniejszy kąt znajduje się na przeciwko najkrótszego boku trójkąta.
- Korzystamy z twierdzenia cosinusów:
[tex]2^2 = (2\sqrt2)^2 + (\sqrt2 + \sqrt6)^2 - 2 \cdot 2\sqrt2 \cdot (\sqrt2 + \sqrt6) \cos \alpha\\4=8+2+6+2 \sqrt{12} - 8(1+\sqrt3) \cos \alpha\\-12 -4 \sqrt3 = -8(1+\sqrt3) \cos \alpha\\\cos \alpha = \frac{3+\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}\\\cos \alpha = \frac{\sqrt3}{2}\\\alpha = 30^\circ[/tex] - Stąd suma miar pozostałych dwóch kątów jest równa: [tex]180^\circ - 30 ^\circ = 150^\circ[/tex]
Zad.2.
- Tym razem już wprost z twierdzenia cosinusów:
[tex]e^2 = 4^2 + (2+2\sqrt3)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2+2\sqrt3) \cos 150^\circ\\e^2 = 16 + 4(1+\sqrt3)^2 - 16 (1+\sqrt3) \cdot (-\frac{\sqrt3}{2})\\e^2 = 16 + 4+12+8\sqrt3 + 8\sqrt3 + 24\\e^2 = 56 + 16 \sqrt3\\e = \sqrt{56 + 16 \sqrt3}[/tex] - Z kolei to samo dla drugiej przekątnej równoległoboku daje:
[tex]f^2 = 4^2 + (2+2\sqrt3)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2+2\sqrt3) \cos 30^\circ\\f^2 = 16 + 4(1+\sqrt3)^2 - 16 (1+\sqrt3) \cdot (-\frac{\sqrt3}{2})\\f^2 = 16 + 4+12+8\sqrt3 -8\sqrt3 -24\\f^2 = 8\\f= 2\sqrt2[/tex]
Twierdzenie cosinusów wiąże długości boków trójkąta z miarą kąta pomiędzy wybranymi dwoma bokami w sposób:
[tex]c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos |\angle (a,b)|[/tex]
w szczególności, gdy [tex]| \angle (a,b) | = 90^\circ[/tex] odtwarzamy twierdzenie Pitagorasa:
[tex]c^2 = a^2+b^2[/tex]
