Pole powierzchni i objętość - bryła złożona z ostrosłupa i graniastosłupa.
- Dla ostrosłupa prawidłowego (górna figura na rysunku) widzimy, że:
[tex](*)[/tex] wysokość ściany bocznej to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4 - równa 5
[tex](*)[/tex] stąd powierzchnia boczna tej figury jest równa:
[tex]P_1 = 4 \times \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5 = 60[/tex]
[tex](*)[/tex] z kolei objętość jest równa (wiedząc, że w podstawie mamy kwadrat - jest to ostrosłup prawidłowy):
[tex]V_1 = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = 48[/tex] - Dla graniastosłupa mamy z kolei:
[tex](*)[/tex] w podstawach - dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych długości 6 - stąd przeciwprostokątna jest równa:
[tex]c = \sqrt{6^2 +6^2} = 6 \sqrt2[/tex]
[tex](*)[/tex] Mamy więc pole powierzchni złożone ze ścian:
- dwóch trójkątów o przyprostokątnych długości 6
- ścianę "przednią" o bokach [tex]6 \times 6\sqrt2[/tex]
- ścianę "tylną" o bokach [tex]6 \times 6[/tex]
równe:
[tex]P_2 = 2 \times \frac{1}{2} \cdot 6\cdot6 + 6\cdot6 \sqrt2 + 6^2 = 36+36\sqrt2+36 = 36(2 + \sqrt 2)[/tex]
[tex](*)[/tex] zaś objętość jest równa:
[tex]V_2 = \frac{1}{2} 6^2 \times 6 = 108[/tex] - Finalnie:
[tex](*)[/tex] pole powierzchni bryły:
[tex]P = P_1 + P_2 = 60 +36(2+\sqrt2) = 4(33 + 9 \sqrt2)[/tex]
[tex](*)[/tex] objętość bryły:
[tex]V = V_1 + V_2 = 48 + 108 = 156[/tex]
Warto zapamiętać:
- trójkąt prostokątny równoramienny o boku długości [tex]a[/tex] to połowa kwadratu - stąd długość przeciwprostokątnej trójkąta jest równa długości przekątnej kwadratu: [tex]a \sqrt2[/tex]
- objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru:
[tex]V = \frac{1}{3} P_p \times H[/tex] - graniastosłup (lub ostrosłup) prawidłowy to taka figura, która w podstawie ma wielokąt foremny (o bokach równej długości i kątach o równej mierze)
