Geometria analityczna. Wielokąty w układzie współrzędnych.
Zad.9
Mamy dany punkt L(7, -1) oraz punkt S(2, 4), który jest środkiem odcinka LN. Mamy sprawdzić, czy punkt N(-3, 9) ma poprawne współrzędne.
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\S_{AB}\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
Podstawiamy współrzędne punktów L i N i porównujemy ze współrzędnymi punktu S:
[tex]L(7,\ -1),\ N(-3,\ 9),\ S(2,\ 4)\\\\\dfrac{7+(-3)}{2}=\dfrac{4}{2}=2\qquad\bold{OK}\\\\\dfrac{-1+9}{2}=\dfrac{8}{2}=4\qquad\bold{OK}[/tex]
Wnioskujemy, że punkt N ma podane współrzędne.
Odp: Tak ponieważ (7 - 3):2 = 2 oraz (-1 + 9):2 = 4
A. ponieważ 1.
Zad.10
Skorzystamy z własności równoległoboku, w którym przekątne dzielą się na pół.
Jeżeli punkt S jest punktem przecięcia przekątnych, to jest on również środkiem odcinka AC oraz odcinka BD.
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka.
[tex]A(0,-4),\ C(x,\ y),\ S(3,\ 0)\\\\\dfrac{0+x}{2}=3\ \wedge\ \dfrac{-4+y}{2}=0\\\\\dfrac{x}{2}=3\qquad|\cdot2\ \wedge\ -4+y=0\qquad|+4\\\\x=6\ \wedge\ y=4\\\\\boxed{C(6,\ 4)}[/tex]
Obliczamy długości boków AB i BC korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]|AB|=\sqrt{(7-0)^2+(-5-(-4))^2}=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{49+1}\\\\=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2\\\\|BC|=\sqrt{(6-7)^2+(4-(-5))^2}=\sqrt{(-1)^2+9^2}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{|AB|=|CD|=5\sqrt2}\\\boxed{|BC|=|AD|=\sqrt{82}}[/tex]
