Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Graniastosłup prawidłowy trójkątny to taki graniastosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny.
Wzór na objętość tego graniastosłupa wygląda tak:
V = Pp razy H
Skoro jednak w podstawie jest trójkąt równoboczny, to możemy do powyższego wzoru zamiast Pp wstawić wzór na pole trójkąta równobocznego, czyli P = (a²√3)/4
"Nowy" wzór na objętość przyjmie zatem postać:
V = (a²√3)/4 razy H
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy dwie identyczne podstawy i trzy identyczne ściany. Obie podstawy są trójkątami równobocznymi. Każda ze ścian jest równoległobokiem. Pole powierzchni całkowitej będzie więc sumą pól obu podstaw i trzech ścian bocznych:
Pc = 2Pp + 3Psb
Wzór na pole podstawy to oczywiście wspomniane wyżej (a²√3)/4.
Skoro są dwa takie pola to mnożymy:
2 razy (a²√3)/4 = (a²√3)/2
Pole ściany bocznej to P = aH, ale ich są trzy, więc: Psb = 3aH
Ogólny wzór na sumę pól ścian bocznych będzie wyglądać następująco:
Pc = (a²√3)/2 + 3aH
Teraz wystarczy nam jedynie znaleźć "a" i wstawić je do obu "pogrubionych" wzorów, bo H już mamy (w obu zadaniach oznaczono je literką A).
1) A = H = 6
B = h = 9
"h" oznacza tutaj wysokość podstawy, czyli wysokość trójkąta równobocznego. Ze wzoru na taką wysokość wiemy, że h = (a√3)/2. Podstawiamy za "h" 9 i znajdujemy "a":
h = (a√3)/2
9 = (a√3)/2 / mnożymy obustronnie przez 2 i zamieniamy stronami
a√3 = 18 / dzielimy obustronnie przez √3 i pozbywamy się niewymierności w mianowniku
a = 18/√3
a = 18√3/ (√3 razy √3)
a = (18√3)/3
a = 6√3
Znajdujemy V i Pc (dla a = 6√3 i H = 6)
V = (a²√3)/4 razy H
V = (6√3)² razy √3)/4 razy 6
V = (108√3)/4 razy 6
V = 27√3 razy 6
V = 162√3
Pc = (a²√3)/2 + 3aH
Pc = (6√3)² razy √3)/2 + 3 razy 6√3 razy 6
Pc = (108√3)/2 + 18√3 razy 6
Pc = 54√3 + 108√3
Pc = 162√3
2)A = H = 5
B = h = 10
"h" oznacza tutaj wysokość podstawy, czyli wysokość trójkąta równobocznego. Ze wzoru na taką wysokość wiemy, że h = (a√3)/2. Podstawiamy za "h" 10 i znajdujemy "a":
h = (a√3)/2
10 = (a√3)/2 / mnożymy obustronnie przez 2 i zamieniamy stronami
a√3 = 20 / dzielimy obustronnie przez √3 i pozbywamy się niewymierności w mianowniku
a = 20/√3
a = 20√3/ (√3 razy √3)
a = (20√3)/3
Znajdujemy V i Pc (dla a = (20√3)/3 i H = 5)
V = (a²√3)/4 razy H
V = (((20√3)/3)² razy √3) / 4 razy 5
V = ((1200/9) razy √3) razy 5/4
V = (1200√3)/9 razy 5/4
V = (6000√3)/36
V = (500√3)/3
Pc = (a²√3)/2 + 3aH
Pc = (((20√3)/3)² razy √3)/2 + 3 razy ((20√3/3)) razy 5
Pc = (1200/9 razy √3)/2 + 20√3 razy 5
Pc = (1200√3)/18 + 100√3
Pc = (200√3)/3 + 100√3
Pc = (200√3 + 300√3)/3
Pc = (500√3)/3