Odpowiedź :
Zad. 7.
Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych jego końców:
[tex]S=(x_S\,;\ y_S)=\left(\frac{x_1+x_2}2\,;\ \frac{y_1+y_2}2\right)[/tex]
B jest środkiem odcinka AM:
[tex]A=(4\,,\, 7)\qquad\implies\quad x_1=4\,,\ y_1=7\\B=(12\,,-15)\quad\implies\quad x_S =12\,,\ y_S=-15\\M=(x_2\,,\, y_2)\\\\(x_S\,;\ y_S)=\left(\frac{x_1+x_2}2\,;\ \frac{y_1+y_2}2\right)\\\\(12\,;-15)=\left(\frac{4+x_2}2\,;\ \frac{7+y_2}2\right)\\\\ (\frac{24}2\,;\frac{-30}2)=\left(\frac{4+x_2}2\,;\ \frac{7+y_2}2\right)\\\\ (24\,;-30)=\left(4+x_2\,;\ 7+y_2\right)\\\\ \big(4+20\,;7+(-37)\big)=\left(4+x_2\,;\ 7+y_2\right)\\\\ \big(20\,;-37\big)=\left(x_2\,;\ y_2\right)\\\\\large\boxed{M=\big(20\,;-37\big)}[/tex]
K jest środkiem odcinka AB:
[tex]A=(4\,,\, 7)\qquad\implies\quad x_1=4\,,\ y_1=7\\B=(12\,,-15)\quad\implies\quad x_2 =12\,,\ y_2=-15\\K=(x_S\,,\, y_S)\\\\(x_S\,;\ y_S)=\left(\frac{x_1+x_2}2\,;\ \frac{y_1+y_2}2\right)\\\\(x_S\,;\ y_S)=\left(\frac{4+12}2\,;\ \frac{7+(-15)}2\right)=\big(\frac{16}2\,;\,\frac{-8}2\big)=\big(8\,,-4\big)\\\\\large\boxed{K=\big(8\,,-4\big)}[/tex]
A jest środkiem odcinka LB:
[tex]A=(4\,,\, 7)\qquad\implies\quad x_S=4\,,\ y_S=7\\B=(12\,,-15)\quad\implies\quad x_1 =12\,,\ y_1=-15\\L=(x_2\,,\, y_2)\\\\(x_S\,;\ y_S)=\left(\frac{x_1+x_2}2\,;\ \frac{y_1+y_2}2\right)\\\\(4\,;\,7)=\left(\frac{12+x_2}2\,;\ \frac{-15+y_2}2\right)\\\\ (\frac{8}2\,;\frac{14}2)=\left(\frac{12+x_2}2\,;\ \frac{-15+y_2}2\right)\\\\ (8\,;14)=\left(12+x_2\,;\ -15+y_2\right)\\\\ \big(12+(-4)\,;-15+29\big)=\left(12+x_2\,;\ -15+y_2\right)\\\\ \big({-}4\,;\,29\big)=\left(x_2\,;\ y_2\right)[/tex]
[tex]\large\boxed{L=\big({-}4\,;\,29\big)}[/tex]
Zad. 8.
1. Wyznaczamy równania prostych AB i CD.
AB:
współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:
[tex]a_{_{AB}}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-3+2}{6-3}=-\dfrac13[/tex]
Równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym i przechodzącej przez dany punkt: [tex]y-y_0=a(x-x_0)[/tex]
[tex]a=-\frac13\\A=(3\,,-2)\quad\implies\quad x_0=3\,,\ \ y_0=-2[/tex]
Równanie prostej AB:
[tex]y-(-2)=-\frac13(x-3)\\\\y=-\frac13x+1-2\\\\\underline{y=-\frac13x-1}[/tex]
CD:
współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C i D:
[tex]a_{_{CD}}=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{4-2}{5-7}=\dfrac2{-2}=-1[/tex]
[tex]a=-1\\D=(5\,,\,4)\quad\implies\quad x_0=5\,,\ \ y_0=4[/tex]
Równanie prostej CD:
[tex]y-4=-(x-5)\\\\y=-x+5+4\\\\\underline{y=-x+9}[/tex]
2. Wyznaczamy współrzędne wierzchołków trójkąta (punkty przecięcia prostych z osią Y i ze sobą):
Punkt przecięcia prostej CD z osią Y (oznaczmy go K):
[tex]x=0\quad\implies\quad y=-0+9=9\quad\implies\quad K=(0\,,\,9)[/tex]
Punkt przecięcia prostej AB z osią Y (oznaczmy go L):
[tex]x=0\quad\implies\quad y=-\frac13\cdot0-1=-1\quad\implies\quad L=(0\,,-1)[/tex]
Punkt przecięcia prostej AB z prostą CD (oznaczmy go M):
[tex]-\frac13x-1=-x+9\qquad/+x+1\\\\\frac23x=10\qquad/\cdot\frac32 \\\\ x=15\quad\implies\quad y=-15+9=-6\\\\M=(15\,,-6)[/tex]
3. Obliczamy pole trójkąta.
Bok KL leży na osi Y, więc jego długość jest równa różnicy współrzędnych igrekowych jego końców:
[tex]|KL| =|y_L-y_K|= |-1-9| =|-10|= 10[/tex]
Natomiast wysokością prostopadłą do tego boku jest odległość wierzchołka M od osi Y:
[tex]h=|x_M|=|15|=15[/tex]
[tex]P=\frac12|KL|\cdot h\\\\P=\frac12\cdot10\cdot15\\\\\large\boxed{P=75\ \big[j^2\big]}[/tex]