Odpowiedź:
Ortocentrum w trójkącie , to punkt przecięcia trzech wysokości trójkąta. Dla
obliczenie współrzędnych tego punktu wystarczy obliczyć współrzędne przecięcia dwóch wysokości
1. Obliczamy prostą zawierająca wierzchołki A i B
A = (-5 , 1) , B = ( 3 , 1 )
xa = - 5 , xb = 3 , ya = 1 , yb = 1
(xb - xa)(y - ya) = ( yb - ya)(x - xa)
(3+ 5)(y - 1) = (1 - 1)(x+ 5)
8(y-1) = 0 * (x + 5)
8y - 8 = 0
8y = 8
y = 8/8 = 1
2. Obliczamy prostą zawierającą wierzchołki A i C
A = ( - 5 , 1 ) , C = ( - 2 , 6 )
xa = - 5 , xc = - 2 , ya = 1 , yc = 6
(xc - xa)(y - ya) = (yc - ya)(x - xa)
(-2 + 5)(y - 1) = (6 - 1)(x + 5)
3(y - 1) = 5(x + 5)
3y - 3 = 5x + 25
3y = 5x + 25 + 3
3y = 5x + 28
y = (5/3)x + 28/3 = (5/3)x + 9 1/3
3. Obliczamy prostą zawierającą wysokość opuszczoną na IABI
Wysokość jest prostopadłą do prostej przechodzącej przez wierzchołki A i B i przechodzi przez wierzchołek C = ( - 2 , 6 )
y = 1
Prosta prostopadła do tej prostej i przechodząca przez C ma wzór:
x = - 2
4.
Obliczamy prostą zawierającą wysokość opuszczoną na IACI
Wysokość jest prostopadła do prostej i przechodzi przez wierzchołek
B = ( 3, 1 )
y = (5/3)x + 28/3
a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = 5/3
b₁ - wyraz wolny = 28/3
warunek prostopadłości prostych
a₁ * a₂ = - 1
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : 5/3 = - 1 * 3/5 = - 3/5
y = a₂x + b₂ = (-3/5)x + b₂ ; B = ( 3 , 1 )
1 = - 3/5 * 3 + b₂
1 = - 9/5 + b₂
b₂ = 1 + 9/5 = 1 9/5 = 2 4/5
y = (- 3/5)x + 2 4/5
5. Obliczamy współrzędne ortocentrum z układu równań
y = (-3/5)x + 2 4/5
x = - 2
y = - 3/5 * (- 2) + 2 4/5 = 6/5 + 2 4/5 = 1 1/5 + 2 4/5 = 3 5/5 = 4
Współrzędne ortocentrum = ( - 2 , 4 )
