Odpowiedź:
[tex]h=90\ cm\\a=60\sqrt3\ cm[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Trójkąt równoboczny jest jednak bardzo szczególnym trójkątem, w którym wysokości zawierają się w dwusiecznych, więc środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia wysokości.
Punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego dzieli tę wysokość na 2 odcinki o długościach [tex]\frac{1}{3}h[/tex] i [tex]\frac{2}{3}h[/tex]. Promień okręgu wpisanego to [tex]\frac{1}{3}h[/tex].
Zatem
[tex]r=\frac{1}{3}h\\30=\frac{1}{3}h\ |*3\\h=90\ cm[/tex]
Długość boku obliczmy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
[tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}\\\frac{a\sqrt3}{2}=90\ |*2\\a\sqrt3=180\ |:\sqrt3\\a=\frac{180}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{180\sqrt3}{3}=60\sqrt3\ [cm][/tex]
