Funkcje liniowe, zbiory argumentów i wartości.
- Mamy rozwiązać nierówność:
[tex]f(x) < g(x)\\-3x+2 < x-2\\4 < 4x\\x > 1[/tex]
stąd: funkcja f przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g dla [tex]x > 1[/tex] - Gdy funkcje przyjmują wartości różnych znaków, możemy zinterpretować ten fakt jako:
[tex]f(x)\cdot g(x) < 0[/tex]
(bo mamy ujemna razy dodatnia lub dodatnia razy ujemna)
tym samym dostajemy:
[tex](-3x+4)(x-2) < 0[/tex]
czyli przedziały zmienności są ograniczone przez liczby:
[tex]x= \frac{4}{3}[/tex] oraz [tex]x=2[/tex]
Sprawdźmy znak powyższego dla dowolnego x (najwygodniej np. x=0), wtedy mamy: [tex]4*(-2) = -8 < 0[/tex]
Stąd wnioskujemy, że w przedziale [tex](-\infty, \frac{4}{3})[/tex] gdzie znajduje się argument [tex]x=0[/tex] nasza nierówność jest spełniona.
Ponieważ wszystkie pierwiastki są stopnia nieparzystego, funkcja zmienia znak dla każdego następującego po sobie przedziału zmienności. Stąd finalnie:
[tex]x\in (-\infty, \frac{4}{3})\, \bigcup \; (2, \infty)[/tex]
jest zbiorem argumentów, dla których obie funkcje przyjmują wartości różnych znaków.
Możemy symbolicznie zinterpretować znak funkcji [tex]h(x)=f(x)g(x)[/tex] w przedziałach zmienności w sposób:
[tex]. \quad \quad "-" \quad \quad \quad \quad \quad \quad "+" \quad \quad \quad \quad \quad \quad"-"\\--------|-------|-------- > \\.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \frac{3}{4} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x[/tex]
