Odpowiedź:
x = 8
Szczegółowe wyjaśnienie:
(2x - 1)(3x - 9) = 225
Jeżeli to miałby być kwadrat to znaczy, że:
2x - 1 = 3x - 9
2x - 3x = -9 + 1
-x = -8
x = 8
lub
6x² - 18x - 3x + 9 - 225 = 0
6x² -21x - 216 = 0 /: 3
2x² -7x - 72 = 0
Δ = b² - 4ac = (-7)² + 4 · 2 ·72 = 49 + 576 = 625
√Δ = 25
jeden z pierwiastków wychodzi ujemny, a drugi dodatni
x = [tex]\frac{7 + 25}{4}[/tex] = 8 (jest to jedyne rozwiązanie, więc ten prostokąt jest kwadratem)
cbdu (co było do udowodnienia)
Witaj :)
Dany mamy prostokąt o polu równym 225. Wiemy, że jego wymiary to
(2x-1)X(3x-9), Wobec czego możemy zapisać, że:
[tex]a = 2x-1\\b=3x-9\\P=225[/tex]
Wzór na pole prostokąta wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{P=ab}[/tex]
Możemy zatem pod powyższy wzór wprowadzić nasze dane, i wyliczyć "x":
[tex]225=(2x-1)(3x-9)\\6x^2-18x-3x+9=225\\6x^2-21x+9=225\\6x^2-21x+9-225=0\\6x^2-21x-216=0[/tex]
Jak zauważamy mamy do rozwiązania równanie kwadratowe. Rozwiążmy je:
[tex]6x^2-21x-216=0\\\\a=6\\b=-21\\c=-216\\\\\Delta =b^2-4ac=(-21)^2-4\cdot6\cdot (-216)=441+5184=5625 > 0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{5625}=75\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-21)+75}{2\cdot 6} =\frac{96}{12}=8\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-21)-75}{2\cdot 6} =\frac{-54}{12}=-\frac{9}{2}\ odrzucamy![/tex]
Jak zauważamy drugie rozwiązanie odrzucamy, ponieważ długości boków byłyby ujemne.
Wróćmy do początku tego, co zapisaliśmy:
[tex]a=2x-1\\b=3x-9[/tex]
Podstawmy nasz obliczony "x":
[tex]a=2\cdot 8-1=16-1=15\\b=3\cdot 8-9=24-9=15[/tex]
Ponieważ długość boku "a" jest taka sama, jak długość boku b, więc:
[tex]\Large \boxed{a=b\implies jest\ to\ kwadrat,\ C.N.W}[/tex]
