Funkcja kwadratowa - wzory Viete'a + pochodne
Suma pierwiastków dla [tex]k=-2[/tex] jest najmniejsza i wynosi
[tex]-2+\frac{4}{-2}=-2-2=-4[/tex]
Suma pierwiastków dla [tex]k=2[/tex] jest największa i wynosi
[tex]2+\frac{4}{2}=4[/tex]
Suma pierwiastków z wzorów Viete'a jest równa [tex]x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/tex]
W naszym przypadku [tex]a=k[/tex] oraz [tex]b=-(k^2+4)[/tex]
Niech [tex]x_1+x_2=g(k)=-\frac{-(k^2+4)}{k} =\frac{k^2+4}{k}=k+\frac{4}{k}[/tex]
Szukamy maksimum lokalnego i minimum lokalnego tej funkcji za pomocą pochodnej przyrównanej do zera:
[tex]g'(k)=1-\frac{4}{k^2}=0\\ \frac{4}{k^2}=1\\ k^2=4\\k=2\vee k=-2[/tex]
Obliczamy drugą pochodną:
[tex]g''(k)=\frac{8}{k^3}[/tex]
Sprawdzamy wartość drugiej pochodnej dla k= 2 i k= - 2
[tex]g''(-2)=-1 < 0\Rightarrow[/tex] funkcja dla k= -2 osiąga maksimum lokalne równe
[tex]g(-2)=-4[/tex]
[tex]g''(2)=1 > 0\Rightarrow[/tex] funkcja dla k=2 osiąga minimum lokalne równe
[tex]g(2)=4[/tex]
