a, b, c - trzy liczby, które tworzą ciąg arytmetyczny to:
b - a = c - b ⇒ 2b = a + c
z zadania wiemy : a + b + c = 45
a-4, b-5, c-1 - trzy liczby, które tworzą ciąg geometryczny to:
[tex]\dfrac{b-5}{a-4} =\dfrac{c-1}{b-5} ~~\Rightarrow ~~(b-5)^{2} =(a-4)\cdot (c-1)[/tex]
a + b + c = 45 ⇒ a + c = 45 -b
2b = a + c ∧ a + c = 45 -b ⇒ 2b = 45 - b
2b + b = 45
3b = 45 I÷3
b = 15
2b = a + c ∧ b = 15 ⇒ a + c = 30 ⇒ c = 30 - a
( b - 5 )² = ( a - 4 ) × (c - 1 ) ∧ b = 15 ⇒ ( a - 4 ) × (c - 1 ) = 100
( a - 4 ) × (c - 1 ) = 100 ∧ c = 30 - a ⇒ ( a - 4 ) × ( 29 - a ) = 100
( a - 4 ) × ( 29 - a ) = 100
29a - a² - 116 + 4a = 100
-a² + 33a - 216 = 0
a² - 33a + 216 = 0
[tex]a^{2} -33a+216=0\\\\\Delta =(-33)^{2} -4\cdot 1 \cdot 216=1089-864=225\\\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{225} =\sqrt{15^{2} } =15\\\\a_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} ~~\lor ~~a_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\a_{1} =\dfrac{33-15 }{2}=9~~\lor ~~a_{2} =\dfrac{33+15}{2}=24[/tex]
[tex]I .\\a=9~~\land ~~c=30-a~~\Rightarrow~~c=21\\b=15\\\\9,~~15~,~21~~-tworza~~ciag~~arytmetyczny\\\\5,~~10,~~20~~-tworza~~ciag~~geometryczny\\\\\\II .\\a=24~~\land ~~c=30-a~~\Rightarrow~~c=6\\b=15\\\\24,~~15~,~6~~-tworza~~ciag~~arytmetyczny\\\\20,~~10,~~5~~-tworza~~ciag~~geometryczny[/tex]
Odpowiedź:
To z wyrazów ciągu: trzy wyrazy ciągu arytmetycznego
15 - d, 15, 15 + d otrzymamy dwa ciągi arytmetyczne, które są rozwiązaniem zgodnie z warunkami zadania zadania:
Odpowiedź: Szukane liczby są wyrazami dwóch ciągów (podkreślone):
d1 = - 14 to mamy ciąg: 29, 15, 1. Suma = 45 oraz
d2 = 11 to mamy ciąg: 4, 15, 26. Suma = 45
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej różnicy d = r, więc napiszemy kilka wyrazów tego ciągu:
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = a1 + 4d po tych kilku utworzonych wyrazach możemy
_________________ już napisać wzór ogólny ciągu:
an = a1 + (n-1)d
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma wynosi 45.
a1, a1 + d, a1 + 2d to a1 + a1 + d + a1 + 2d = 45 to
3a1 + 3d = 45 /:3 to a1 + d = 15 to a1 = 15 - d to
15 - d, 15, 15 - d + 2d = 15 + d to
trzy wyrazy ciągu arytmetycznego 15 - d, 15, 15 + d
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, (- z tych kilku wyrazów ciągu można już
........................................... zauważyć zależność na ogólny wyraz ciągu):
an = (a1)•q^(n-1), an = a1 razy q do potęgi (n-1), a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć jakieś równania (układ równań) czytając treść zadania:
trzy wyrazy ciągu arytmetycznego 15 - d, 15, 15 + d
15 - d - 4, 15 - 5, 15 + d - 1 to 11 - d, 10, 14 + d ciąg geometryczny
Z wyżej utworzonych wyrazów ciągu wynika również, ze: Iloraz q możemy obliczyć dzieląc wyraz następny przez poprzedni:
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ..., a(n+1/an (wzór rekurencyjny) więc
ułożymy równanie:
q = 10/(11 - d) = (14 + d)/10 /•10(11 - d) to
100 = (14 + d)(11 - d) = 154 + 11d - 14d - d² to - d² - 3d + 154 - 100 = 0
to - d² - 3d + 54 = 0 /•(-1) to d² + 3d - 54 = 0 to ∆ = 9 + 216 = 225
to √∆ = 25 to d1 = (- 3 - 25)/2 = - 14, d2 = (- 3 + 25)/2 = 11
To z wyrazów ciągu: trzy wyrazy ciągu arytmetycznego
15 - d, 15, 15 + d otrzymamy dwa ciągi arytmetyczne, które są rozwiązaniem zgodnie z warunkami zadania zadania:
Odpowiedź: Szukane liczby są wyrazami dwóch ciągów (podkreślone):
d1 = - 14 to mamy ciąg: 29, 15, 1. Suma = 45 oraz
d2 = 11 to mamy ciąg: 4, 15, 26. Suma = 45
