Witaj :)
Zapiszmy nasz układ równań:
[tex]$\left\{\begin{array}{rcl}x+2y-z&=&8\\2x+2y-z&=&10\\2x+3y+z&=&5\end{array} \right.$[/tex]
Jak widzimy mamy 3 równania z 3 niewiadomymi, zatem można podejrzewać, że mamy do czynienia z układem Cramera. Obliczmy jeszcze wyznacznik główny macierzy stworzonej ze współczynników stojących przy niewiadomych:
[tex]det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\2 & 2 & -1\\2& 3& 1\end{array}\right| =-5[/tex]
Ponieważ Wyznacznik macierzy głównej jest różny od 0 mamy do czynienia z układem Cramera. Możemy zatem skorzystać ze wzorów Cramera. Wyglądają one następująco:
[tex]x=\frac{det(x)}{det(A)}\\ \\y=\frac{det(y)}{det(A)} \\\\z=\frac{det(z)}{det(A)}[/tex]
Gdzie:
det(x) - wyznacznik macierzy powstałej przez zastąpienie wyrazów przy niewiadomej "x" wyrazami wolnymi,
det(y) - wyznacznik macierzy powstałej przez zastąpienie wyrazów przy niewiadomej "y" wyrazami wolnymi,
det(z) - wyznacznik macierzy powstałej przez zastąpienie wyrazów przy niewiadomej "z" wyrazami wolnymi,
Obliczmy kolejno wyznaczniki:
[tex]det(x)=\left|\begin{array}{ccc}8 & 2 & -1 \\10 & 2 & -1\\5& 3& 1\end{array}\right| =-10[/tex]
[tex]det(y)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 8 & -1 \\2 & 10 & -1\\2& 5& 1\end{array}\right| =-7[/tex]
[tex]det(z)=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\2 & 2 & 10\\2& 3& 5\end{array}\right| =16[/tex]
Możemy zatem obliczyć nasze niewiadome "x", "y", "z":
[tex]x=\frac{det(x)}{det(A)} =\frac{-10}{-5}=2\\ \\y=\frac{det(y)}{det(A)} =\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\\ \\ z=\frac{det(z)}{det(A)}=\frac{16}{-5}=-3\frac{1}{5}[/tex]
Zarówno niewiadoma "y", jak i niewiadoma "z" nie należą do liczba całkowitych wobec czego podany układ równań nie spełnia trójka liczb całkowitych.
W załączniku znajdują się pełne obliczenia każdego z wyznaczników danej macierzy. Do obliczenia wyznacznika użyłem metody Sarrusa.
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-z=8\\2x+2y-z=10\\2x+3y+z=5\end{array}\right[/tex]
Rozwiążemy układ równań metodą kombinowaną.
Na początku weźmy dwa pierwsze równania i ułóżmy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-z=8\\2x+2y-z=10\end{array}\right[/tex]
rozwiążemy go metodą przeciwnych współczynników:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-z=8&|\cdot(-1)\\2x+2y-z=10\end{array}\right\\\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}-x-2y+z=-8\\2x+2y-z=10\end{array}\right}\\.\qquad x=2\in\mathbb{C}[/tex]
Podstawiamy teraz wartość [tex]x[/tex] do pierwszego i trzeciego równania:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2+2y-z=8&|-2\\2\cdot2+3y+z=5&|-4\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2y-z=6\\3y+z=1\end{array}\right[/tex]
Rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników:
[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}2y-z=6\\3y+z=1\end{array}\right}\\.\qquad5y=7\qquad|:5\\.\qquad y=\dfrac{7}{5}\notin\mathbb{C}[/tex]
Widzimy już, że odpowiedź brzmi nie.
Obliczmy jeszcze wartość [tex]z[/tex] podstawiając wartość [tex]y[/tex] do drugiego równania z powyższego układu równań:
[tex]3\cdot\dfrac{7}{5}+z=1\\\\\dfrac{21}{5}+z=1\qquad|-\dfrac{21}{5}\\\\z=\dfrac{5}{5}-\dfrac{21}{5}\\\\z=-\dfrac{16}{5}\notin\mathbb{C}[/tex]
