Planimetria (styczna i sieczna okręgu).
Styczna do okręgu jest to prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem.
Twierdzenie:
Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Sieczna okręgu jest to prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach.
Twierdzenie:
Jeżeli dwie sieczne okręgu przecinają się punkcie P nie należącym do okręgu i przecinają okrąg w punktach odpowiednio A i B oraz C i D, to
|PA| · |PB| = |PC| · |PD|
Wykonajmy rysunek poglądowy i zaznaczmy na nim wszystkie dane.
Na początku obliczmy długość promienia okręgu korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Podstawiamy:
[tex]a=r,\ b=24,\ c=18+r\\\\(18+r)^2=r^2+24^2[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex]324+36r+r^2=r^2+576\qquad|-r^2-324\\36r=252\qquad|:36\\\boxed{r=7}[/tex]
Korzystając z twierdzenia o siecznych otrzymujemy:
[tex]|PD|\cdot|PE|=|PB|\cdot|PC|[/tex]
Podstawiamy:
[tex]|PD|=3x,\ |PE|=3x+x=4x,\ |PB|=18,\ |PC|=18+2\cdot7=32\\\\3x\cdot4x=18\cdot32\\12x^2=576\qquad|:12\\x^2=48\\x=\sqrt{48}\\x=\sqrt{16\cdot3}\\\boxed{x=4\sqrt3}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]|PE|=4x\to|PE|=4\cdot4\sqrt3[/tex]
[tex]\huge\boxed{|PE|=16\sqrt3}[/tex]
