Odpowiedź :
Odpowiedź:
a) Odpowiedź: Na podstawie powyższej analizy i obliczeń:
Największa wartość funkcji
f(x) max = f(-7/6) = f(-7/6) = 229/12 = 19 + 1/12 (19 całych i 1/12), dla argumentu funkcji x = - 7/6
b)
Oblicz, ile wynoszą suma i iloczyn miejsc zerowych tej funkcji.
Najprościej skorzystać ze wzorów Viete'a:
y = f(x) = − 3x² − 7x + 15,
x1 + x2 = - b/a = - (-7)/(-3) = - 7/3; x1•x2 = c/a = 15/(-3) = - 5
c)
Na podstawie powyższej analizy i obliczeń przedziały monotoniczności
napiszemy już bez dodatkowych obliczeń:
Funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale x ∈ (- ∞, -7/6)
Funkcja y = f(x) jest malejąca w przedziale x ∈ (-7/6, - ∞)
Funkcja y = f(x) ma ekstremum = maksimum w punkcie
o współrzędnych x = -7/6 i y = 229/12 = 19 + 1/12 (19 całych i 1/12)
Szczegółowe wyjaśnienie:
y = f(x) = − 3x² − 7x + 15
Jest ro równanie funkcji kwadratowej (drugiego stopnia), do rozwiązania równania należy równanie przyrównać do 0, postać ogólna i iloczynowa równania jest następująca:
y = ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0, to
y = f(x) = − 3x² − 7x + 15 = 0
Wyróżnik równania ∆ = b² - 4ac = (- 7)² - 4(- 3)•15 = 49 + 180 = 229 to
√∆ = √229, rozwiązania równania x1 i x2:
x1 = (- b - √∆)/2a = (7 - √229)/(- 6), x2 = (- b + √∆)/2a = (7 + √229)/(- 6)
są miejscami zerowymi funkcji funkcji (współrzędna y dla miejsc zerowych y = 0).
[liczba 229 jest liczbą pierwszą, więc obliczanie z tej postaci by było nieco utrudnione]
Współczynnik a = - 3 < 0, to wykres funkcji (paraboli) jest skierowany wierzchołkiem do góry (gałęziami do dołu) - to funkcja y = f(x) ma wartość największą w swoim wierzchołku:
(w swoim ekstremum funkcji = maksimum), współrzędna x wierzchołka
W jest równa: x = - b/2a = -(-7)/(-6) = - 7/6
[współrzędną x wierzchołka W można obliczyć również przyrównując pochodną funkcji do 0, to mamy: y = f(x) = − 3x² − 7x + 15,
f'(x) = - 6x - 7 = 0 to - 6x = 7 /:(-6) to x = - 7/6]
Wartość największą funkcji (współrzędną y wierzchołka W) obliczymy podstawiając współrzędną x do równania funkcji:
y = f(-7/6) = -3•49/36 -7(-7/6) + 15 = -49/12 + 49•2/12 + 180/12 =
= 229/12 = 228/12 + 1/12 = 19 + 1/12 (19 całych i 1/12).
Odpowiedź można również "odczytać lub sprawdzić" z gotowego wzoru współrzędnych wierzchołka W(x, y) = W(-b/2a, -∆/4a)
a) Odpowiedź: Na podstawie powyższej analizy i obliczeń:
Największa wartość funkcji
f(x) max = f(-7/6) = f(-7/6) = 229/12 = 19 + 1/12 (19 całych i 1/12), dla argumentu funkcji x = - 7/6
b)
Oblicz, ile wynoszą suma i iloczyn miejsc zerowych tej funkcji.
Najprościej skorzystać ze wzorów Viete'a:
y = f(x) = − 3x² − 7x + 15,
x1 + x2 = - b/a = - (-7)/(-3) = - 7/3; x1•x2 = c/a = 15/(-3) = - 5
c) Określ przedziały monotoniczności podanej funkcji
Na podstawie powyższej analizy i obliczeń przedziały monotoniczności
napiszemy już bez dodatkowych obliczeń:
Funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale x ∈ (- ∞, -7/6)
Funkcja y = f(x) jest malejąca w przedziale x ∈ (-7/6, - ∞)
Funkcja y = f(x) ma ekstremum = maksimum w punkcie
o współrzędnych x = -7/6 i y = 229/12 = 19 + 1/12 (19 całych i 1/12)