Odpowiedź:
11.
a)
2x² + x ≤ 0
x(2x + 1) ≤ 0
x ≤ 0 ∧ 2x + 1 ≥ 0 ∨ x ≥ 0 ∧ 2x + 1 ≤ 0
x ≤ 0 ∧ x ≥ - 1/2 ∨ x ≥ 0 ∧ x ≤ - 1/2
x ≥ - 1/2 ∧ x ≤ 0
x ∈ < - 1/2 , 0 >
b)
(x + 7)² > 0
x + 7 > 0 ∨ x + 7 < 0
x > - 7 ∨ x < - 7
x ∈ R \ { - 7}
c)
(2x + 3)² ≤ 0
Ponieważ każda liczba podniesiona do kwadratu ma wartość ≥ 0 , więc :
2x + 3 = 0
2x = - 3
x = - 3/2 = - 1 1/2 = - 1,5
d)
x² - x + 8 > 2
x² - x + 8 -2 > 0
x² - x + 6 > 0
a = 1 , b = - 1 , c = 6
Δ = b² - 4ac = (-1) - 4 * 1 * 6 = 1 - 24 = - 23
a > 0 i Δ < 0 ; parabola z ramionami do góry leży całkowicie nad osią OX i nierówność przyjmuje tylko wartości większe od 0
x ∈ R
e)
(x + 2)(x - 3) < 6
x² + 2x - 3x - 6 - 6 < 0
x² - x - 12 < 0
a = 1 , b = - 1 , c = - 12
Δ = b² - 4ac = (- 1)² - 4 * 1 * ( - 12) = 1 + 48 = 49
√Δ = √49 = 7
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 1 - 7)/2 = - 6/2 = - 3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4
(x + 3)(x + 4) < 0
x + 3 > 0 ∧ x + 4 < 0 ∨ x + 3 < 0 ∧ x + 4 > 0
x > - 3 ∧ x < - 4 ∨ x < - 3 ∧ x > - 4
x > - 3 ∧ x < - 4
x ∈ ( - 3 , - 4 )
f)
(3 - 2x)(3 + 2x) ≥ 1
9 - 4x² ≥ 1
- 4x² + 9 - 1 ≥ 0
- 4x² + 8 ≥ 0
- 4(x²+ 2) ≥ 0
- 4 < 0 ∧ x² + 2 > 0 dla x ∈ R , więc nierówność jest mniejsza od 0 dla każdego x
x ∈ ∅ (zbiór pusty)
g)
3/2x + 2 ≥ x²
- x² + 3/2x + 2 ≥ 0
a = - 1 , b = 3/2 , c = 2
Δ = b² - 4ac = (3/2)² - 4 * ( - 1) * 2 = 9/4 + 8 = 2 1/4 + 8 = 10 1/4
√Δ= √(10 1/4) = √(41/4) = √41/2
x₁ =(- b - √Δ)/2a = ( -3/2- √41/2)/(- 2) = ( -3 - √41)/2 : (- 2) =
= - (3+ √41)/2 * (- 1/2) = (3 + √41)/4
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (- 3/2+ √41/2)/(- 2) = (- 3 +√41)/2 : ( - 2) =
= - ( 3 - √41)/2 * (- 1/2) = (3 - √41)/4
a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX
x ∈ ( (3 - √41)/4 ; ( 3 + √41)/4)
h)
3x² + 1 > 2x
3x² - 2x + 1 > 0
a = 3 , b = - 2 , c = 1
Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = - 8
a > 0 i Δ < 0 ; parabola z ramionami do góry znajduje się całkowicie nad osią OX i nierówność przyjmuje tylko wartości większe od 0
x ∈ R
i)
3x - 5x² > 4
- 5x² +3x - 4 > 0
a= - 5 , b = 3 , c = - 4
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * (-5) * ( - 4) = 9 - 80 = - 79
a < 0 i Δ < 0 ; parabola z ramionami do dołu leży całkowicie pod osią OX i nierówność przyjmuje tylko wartości mniejsze od 0
x ∈ ∅ (zbiór pusty)
Szczegółowe wyjaśnienie:
