Odpowiedź:
Wymiary tego walca to:
[tex]$\left \{ {{r=\sqrt{10} } \atop {H=2\sqrt{10} }} \right.$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
By obliczyć objętość walca potrzebujemy promienia podstawy oraz wysokości. Jest to zadanie optymalizacyjne, musimy więc zapisać funkcję objętości w zależności od jednej ze zmiennych.
zakładamy, że
[tex]$r\in\mathbb{R_+}$[/tex]
[tex]H\in\mathbb{R_+}[/tex]
Zapiszmy pole powierzchni całkowitej takiego walca:
[tex]$S=2\pi r^2+2\pi rH=60\pi$[/tex]
wyznaczamy jedną ze zmiennych (niech będzie to wysokość)
[tex]$H=\frac{60\pi-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{30}{r}-r$[/tex]
Zapiszmy teraz objętość takiego walca
[tex]$V=\pi r^2\cdot H=\pi r^2\cdot\bigg(\frac{30}{r}-r\bigg)=30\pi r-\pi r^3$[/tex]
Objętość jako funkcja promienia takiego walca
[tex]$V(r)=30\pi r-\pi r^3$[/tex]
Szukamy teraz ekstremum tej funkcji:
[tex]$\frac{\mathrm{d}V(r)}{\mathrm{d}r}=30\pi-3\pi\cdot r^2$[/tex]
[tex]$\frac{\mathrm{d}V(r)}{\mathrm{d}r}=0\Longrightarrow r=\sqrt{10}$[/tex]
Jest to maksimum funkcji (funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy najwyższej potędze - nie ma innej możliwości)
Pozostaje obliczyć wartość wysokości
[tex]$H=\frac{30}{\sqrt{10}}-\sqrt{10}=2\sqrt{10}$[/tex]
Maksymalna objętość takiego walca wynosi:
[tex]$V(\sqrt{10})=20\pi\cdot\sqrt{10}\approx198,6918$[/tex]
