[tex]2\cos x\cos(\frac{\pi}{3}-x)=1[/tex]
Skorzystamy ze wzoru
[tex]\cos \alpha+\cos \beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex]
Zauważmy, że lewa strona równania przypomina prawą stronę wzoru. Znajdźmy [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] pasujące do naszego równania.
[tex]\left \{ {{\frac{\alpha+\beta}{2}=x\ |*2} \atop {\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\pi}{3}-x\ |*2}} \right. \\\\\left \{ {{\alpha+\beta=2x} \atop {\alpha-\beta=\frac{2\pi}{3}-2x}} \right|+\\\\\left \{ {{2\alpha=\frac{2\pi}{3}\ |:2} \atop {\alpha+\beta=2x} \right.\\\\\left \{ {{\alpha=\frac{\pi}{3}} \atop {\frac{\pi}{3}+\beta=2x} \right.\\\\\left \{ {{\alpha=\frac{\pi}{3}} \atop {\beta=2x-\frac{\pi}{3}} \right.[/tex]
Zatem nasze równanie przyjmuje postać:
[tex]\cos\frac{\pi}{3}+\cos(2x-\frac{\pi}{3})=1\\\frac{1}{2}+\cos(2x-\frac{\pi}{3})=1\\\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\\2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2k\pi\vee2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\ , k\in\mathbb{Z}\\2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ |:2\vee2x=2k\pi\ |:2\ , k\in\mathbb{Z}\\x=\frac{\pi}{3}+k\pi\vee x=k\pi\ , k\in\mathbb{Z}[/tex]
Znajdźmy rozwiązania tego równania w przedziale [tex](-\pi,2\pi)[/tex], podstawiając za k poszczególne liczny całkowite i sprawdzając, czy wynik mieści się w zadanym przedziale.
[tex]x_1=-\frac{2\pi}{3}\\x_2=\frac{\pi}{3}\\x_3=\frac{4\pi}{3}\\x_4=0\\x_5=\pi[/tex]
Suma tych rozwiązań wynosi
[tex]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}+0+\pi=2\pi[/tex]
To kończy dowód.
