1*2*3*4*5*...*2020*2021*2022
0 daje wynik mnożenia 2 i 5.
W rozkładzie na czynniki pierwsze będzie mniej 5 niż 2, więc wystarczy policzyć ile jest 5.
Liczby mające w rozkładzie dokładnie cztery 5 to:
625,1250,1875
czyli mamy 3·4=12 piątek
Liczby mające w rozkładzie co najmniej trzy 5 to liczby:
125,250, 275, ...,2000
To ciąg geometryczny, w którym
a₁=125
r=125
a_n=2000
a_n=a₁+(n-1)r
125+(n-1)·125=2000
125(n-1)=2000-125
125(n-1)=1875 |:125
n-1=16
n=15+1
n=16
Są wśród nich 3 liczby mające dokładnie cztery 5, więc liczba mających w rozkładzie dokładnie trzy piątki będzie:
16-3=13
Mamy więc 13·3=39 piątek
Liczby mające w rozkładzie co najmniej dwie 5 to:
25,50,75,...,2000
To ciąg geometryczny, w którym
a₁=25
r=25
a_n=2000
a_n=a₁+(n-1)r
25+(n-1)·25=2000
25(n-1)=2000-25
125(n-1)=1975 |:25
n-1=79
n=79+1
n=80
Są wśród nich 3 liczby mające dokładnie cztery 5 i 13 liczb mających w rozkładzie dokładnie trzy 5, więc liczba mających w rozkładzie dokładnie dwie 5 będzie:
80-3-13=64
Mamy więc 64·2=128 piątek
Liczby mające w rozkładzie co najmniej jedną 5 to:
5,10,15,...,2020
To ciąg geometryczny, w którym
a₁=5
r=5
a_n=2020
a_n=a₁+(n-1)r
5+(n-1)·5=2020
5(n-1)=2020-5
5(n-1)=2015 |:5
n-1=403
n=403+1
n=404
Są wśród nich 3 liczby mające dokładnie cztery 5 i 13 liczb mających w rozkładzie dokładnie trzy 5 i 64 liczby mające w rozkładzie dokładnie dwie 5, więc liczba mających w rozkładzie dokładnie jedną 5 będzie:
404-3-13-64=324
Mamy więc 324·1=324 piątki
Liczba zer końcowych liczby iloczynu liczb od 1 do 2022 to
12+39+128+324=503
