Nierówność:
[tex]\log_2(x+1)+\log_{(x+1)}2\geq \frac{5}{2}[/tex]
Założenie
[tex]x+1>0\land x+1\neq 1\\x>-1\land x\neq0\\x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)[/tex]
Ze wzoru [tex]\log_ab=\frac{1}{\log_ba}[/tex] mamy
[tex]\log_2(x+1)+\frac{1}{\log_2(x+1)}\geq \frac{5}{2}[/tex]
Zróbmy podstawienie:
[tex]t=\log_2(x+1)[/tex]
[tex]t+\frac{1}{t}\geq \frac{5}{2}\ |*2\\\\2t+\frac{2}{t}\geq 5\\\\\frac{2t^2}{t}+\frac{2}{t}-\frac{5t}{t}\geq 0\\\\\frac{2t^2-5t+2}{t}\geq 0\\\\t(2t^2-5t+2)\geq 0[/tex]
Znajdźmy pierwiastki trójmianu kwadratowego w nawiasie.
[tex]\Delta=(-5)^2-4*2*2=25-16=9\\\\\sqrt\Delta=9\\\\t_1=\frac{5-3}{2*2}=\frac{1}{2}\\\\t_2=\frac{5+3}{2*2}=2[/tex]
Zatem nierówność ma postać:
[tex]2t(t-\frac{1}{2})(t-2)\geq 0[/tex]
Rozwiązanie tej nierówności to (w załączeniu rysunek poglądowy):
[tex]t\in<0,\frac{1}{2}>\cup<2,+\infty)[/tex]
Wracamy do podstawienia. W związku z takimi przedziałami dla t, logarytm musi spełniać następujące zależności:
[tex]\left \{ {{\log_2(x+1)\geq 0} \atop {\log_2(x+1)\leq \frac{1}{2}}} \right. \vee \log_2(x+1)\geq 2\\\\\left \{ {{\log_2(x+1)\geq \log_21} \atop {\log_2(x+1)\leq \log_2\sqrt2}} \right. \vee \log_2(x+1)\geq \log_24\\\\\left \{ {{x+1\geq 1} \atop {x+1\leq \sqrt2}} \right. \vee x+1\geq 4\\\\\left \{ {{x\geq 0} \atop {x\leq \sqrt2-1}} \right. \vee x\geq 3[/tex]
Stąd
[tex]x\in<0,\sqrt2-1>\cup<3,+\infty)[/tex]
Musimy jeszcze uwzględnić założenie (rysunek w załączeniu), więc ostatecznie
[tex]x\in(0,\sqrt2-1>\cup<3,+\infty)[/tex]
Równanie:
[tex]\sqrt[3]x+2\sqrt[3]{x^2}=3[/tex]
Założenie
[tex]x\geq 0\\x\in<0,+\infty)[/tex]
Zróbmy podstawienie:
[tex]t=\sqrt[3]x\\t+2t^2=3\\2t^2+t-3=0\\\Delta=1^2-4*2*(-3)=1+24=25\\\sqrt\Delta=5\\t_1=\frac{-1-5}{2*2}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\\t_2=\frac{-1+5}{2*2}=\frac{4}{4}=1[/tex]
Wracamy do podstawienia.
[tex]\sqrt[3]x=-\frac{3}{2}\ |^3\vee\sqrt[3]x=1\ |^3\\x=-\frac{27}{8}=-3\frac{3}{8}\vee x=1\\x\in\{-3\frac{3}{8},1\}[/tex]
